Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade

Der Begriff des Lotes

Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt)

Es sei $\ P$ ein Punkt, der nicht zur Geraden $\ g$ gehören möge. ...

...Die Gerade $\ l$, die senkrecht auf $\ g$ steht und durch den Punkt $\ P$ geht heißt Lotgerade von $\ P$ auf $\ g$. Der Schnittpunkt $\ L$ von $\ l$ mit $\ g$, heißt Lotfußpunkt des Lotes von $\ P$ auf $\ g$. Unter dem Lot von $\ P$ auf $\ g$, versteht man die Strecke $\overline {PL}$. --Löwenzahn 16:01, 9. Jul. 2010 (UTC)

Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden)

Es sei $\ P$ ein Punkt außerhalb von $\ g$. Der Abstand von $\ P$ zu $\ g$ ist ...

... die Länge des Lotes $\overline {PL}$ von $\ P$ auf $\ g$. --Löwenzahn 16:06, 9. Jul. 2010 (UTC)

Existenz und Eindeutigkeit des Lotes

Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)

Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es genau ein Lot von $\ P$ auf $\ g$.

Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes:

Lösung von Aufgabe 12.4

EXISTENZ

	Beweisschritt	Begründung
(I)	Konstruiere einen Punkt N auf g. Fall 1: Falls $P1N \perp g$, dann ist $\overline{P1N}$ unser Lot. Fall 2: $P1N \not\perp g$, dann weiter mit (II)	Konstruktion, (Gerade ist Menge von Punkten)
(II)	Antragen von $\alpha1: \alpha1 \cong \alpha2$	Konstruktion, Winkelkonstruktionsaxiom
(III)	Antragen von $|NP|1: |NP1| \cong\ |NP2|$	Konstruktion, Axiom vom Lineal
(IV)	Antragen von $|NL| \cong\ |NL|$	trivial
(V)	$\overline{LNP1} \cong\ \overline{LNP2}$	(II), (III), (IV), SWS
(VI)	$\angle NLP1 \cong\ \angle NLP2$	beides rechte Winkel --> $\overline{PN}$ ist Lot auf g.

$\overline{P1L}$ist Lot von P auf g.
Annahme: $\exists N \in g$ mit $\overline{P1N}$ ist auch Lot von P auf g, $L \not\equiv N.$
$\alpha1$ ist bezüglich $\alpha$ nicht anliegender Innenwinkel ($\overline{NLP1}$) --> Widerspruch, weil $\alpha1 < \alpha$ (schwacher Außenwinkelsatz)