Verschiebungen 2010: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 17. November 2010, 12:26 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Konstruktion des Bildes eines Punkte bei einer Verschiebung
- 1.1 Unter Verwendung der Vektorrechnung (Pfeilklassen)
2 Konstruktionsbeschreibung
3 Definition der Verschiebung
- 3.1 Eine andere Möglichkeit der Definition?
4 Sätze
5 Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung.

Konstruktion des Bildes eines Punkte bei einer Verschiebung

Unter Verwendung der Vektorrechnung (Pfeilklassen)

"Konstruktionsvorschrift": $P'=P+\overrightarrow{AB}$

Konstruktionsbeschreibung

Gegeben sind ein Punkt $\ D$ und sein Bildpunkt $\ D'$ , sowie ein Punkt $\ P$ . Gesucht ist sein Bildpunkt $\ P'$ bei der Verschiebung an $\overrightarrow{DD'}$

(1) Für den Fall, dass gilt: $\ {D, D', P}$ sind nicht kollinear.

1. Parallele zu $\overline{DD'}$ durch $\ P$

2. Parallele zu $\overline{DP}$ durch $\ D'$

3. Der Schnittpunkt der beiden zuvor konstruierten Parallelen ist der gesuchte Punkt $\ P'$

(2) Für den Fall, dass gilt: $\ {D, D', P}$ sind kollinear.

1. Konstruiere einen beliebigen Punkt $\ Q$ der Ebene der nicht kollinear zu $\ {D, D', P}$ ist.

2. Konstruiere den Bildpunkt $\ Q'$ von $\ Q$ bei der Verschiebung an $\overrightarrow{DD'}$ , wie in (1) beschrieben.

3. Konstruiere nun den Bildpunkt $\ P'$ von $\ P$ bei der Verschiebung an $\overrightarrow{QQ'}$ wie in (1) beschrieben. $\ P'$ ist nun auch der gesuchte Bildpunkt für die Verschiebung an $\overrightarrow{DD'}$ , da $\overrightarrow{DD'}$ und $\overrightarrow{QQ'}$ den gleichen Richtungssinn haben. --Steph85

Definition der Verschiebung

...

Eine andere Möglichkeit der Definition?

Es sei $\vec{AB}$ ein Pfeil. Unter der Verschiebung längs des Pfeiles $\vec{AB}$ vresteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, mit folgenden Eigenschaften:
Für das Bild eines Punktes P, benannt mit P' muss gelten:
1. $|\ AB | = |\ PP'|$
2. $\overline{AB}$ $\|$ $\overline{PP'}$
3. $\vec{AB}$ und $\vec{PP'}$ haben den selbern Richtungssinn
--Tja??? 17:23, 16. Nov. 2010 (UTC)

Sätze

Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung.

An dieser Stelle wird nur der allgemeinste Fall bewiesen (siehe Skizze), da die Beweise der anderen Fälle laut Herr Gieding immer ähnlich ablaufen.

Es sei $\ V$ eine Verschiebung längs des Pfeiles $\overrightarrow{AB}$ und $\ {P,Q}$ zwei beliebige Punkte der Ebene mit ihren Bilden $\ {P',Q'}$ bei $\ V$ , die voneinander verschieden sind und nicht auf dem Pfeil $\overrightarrow{AB}$ liegen.
Wir haben zu zeigen, dass $\overline{PQ} \cong \overline {P'Q'}$ ist. Es genügt natürlich zu zeigen, dass $\overline {PQQ'P'}$ ein Parallelogramm ist, da in jedem Parllelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.

--Steph85

Beweisschritt	Begründung
1) $\overline {PP'} \\| \overline {QQ'}$	folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
2) $\overline {ABPP'}$ ist ein Parallelogramm.	folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung ("Das Bild des Punktes $\ P$ ist der fehlende Eckpunkt des Parallelogramms $\overline {ABPP'}$ .")
3) $\overline {ABQQ'}$ ist ein Parallelogramm.	folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
4) Aus $\overline {AB} \cong \overline {PP'}$ und $\overline {AB} \cong \overline {QQ'}$ folgt $\overline {PP'} \cong \overline {QQ'}$	(2), (3), Transitivität
5) $\overline {PQQ'P'}$ ist ein Parallelogramm.	(1), (4)