Verschiebungen 2010

Konstruktion des Bildes eines Punkte bei einer Verschiebung

Unter Verwendung der Vektorrechnung (Pfeilklassen)

"Konstruktionsvorschrift": $P'=P+\overrightarrow{AB}$

Konstruktionsbeschreibung

Gegeben sind ein Punkt $\ D$ und sein Bildpunkt $\ D'$, sowie ein Punkt $\ P$. Gesucht ist sein Bildpunkt $\ P'$bei der Verschiebung an $\overrightarrow{DD'}$

(1) Für den Fall, dass gilt: $\ {D, D', P}$ sind nicht kollinear.

1. Parallele zu $\overline{DD'}$ durch $\ P$

2. Parallele zu $\overline{DP}$ durch $\ D'$

3. Der Schnittpunkt der beiden zuvor konstruierten Parallelen ist der gesuchte Punkt $\ P'$

(2) Für den Fall, dass gilt: $\ {D, D', P}$ sind kollinear.

1. Konstruiere einen beliebigen Punkt $\ Q$ der Ebene der nicht kollinear zu $\ {D, D', P}$ ist.

2. Konstruiere den Bildpunkt $\ Q'$ von $\ Q$ bei der Verschiebung an $\overrightarrow{DD'}$, wie in (1) beschrieben.

3. Konstruiere nun den Bildpunkt $\ P'$ von $\ P$ bei der Verschiebung an $\overrightarrow{QQ'}$ wie in (1) beschrieben. $\ P'$ ist nun auch der gesuchte Bildpunkt für die Verschiebung an $\overrightarrow{DD'}$, da $\overrightarrow{DD'}$ und $\overrightarrow{QQ'}$ den gleichen Richtungssinn haben. --Steph85

>Eine gute Konstruktionsanweisung! Nur kann man schreiben: Parallele zu einer Strecke? Oder sollte man nicht lieber die "Overline" in Fall1, Punkt 1 und 2 weglassen? weglassen? --Tja??? 17:11, 17. Nov. 2010 (UTC)

Definition der Verschiebung

...

Eine andere Möglichkeit der Definition?

Es sei $\vec{AB}$ ein Pfeil. Unter der Verschiebung längs des Pfeiles $\vec{AB}$ vresteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, mit folgenden Eigenschaften:
Für das Bild eines Punktes P, benannt mit P' muss gelten:
1. $|\ AB | = |\ PP'|$
2. $\overline{AB}$ $\|$ $\overline{PP'}$
3. $\vec{AB}$ und $\vec{PP'}$ haben den selbern Richtungssinn
--Tja??? 17:23, 16. Nov. 2010 (UTC)

Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung.

An dieser Stelle wird nur der allgemeinste Fall bewiesen (siehe Skizze), da die Beweise der anderen Fälle laut Herr Gieding immer ähnlich ablaufen.

Es sei $\ V$ eine Verschiebung längs des Pfeiles $\overrightarrow{AB}$ und $\ {P,Q}$ zwei beliebige Punkte der Ebene mit ihren Bildern $\ {P',Q'}$ bei $\ V$, die voneinander verschieden sind und nicht auf dem Pfeil $\overrightarrow{AB}$ liegen.
Wir haben zu zeigen, dass $\overline{PQ} \cong \overline {P'Q'}$ ist. Es genügt natürlich zu zeigen, dass $\overline {PQQ'P'}$ ein Parallelogramm ist, da in jedem Parllelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.

Beweisschritt	Begründung
1) $\overline {PP'} \| \overline {QQ'}$	folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
2) $\overline {ABPP'}$ ist ein Parallelogramm.	folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung ("Das Bild des Punktes $\ P$ ist der fehlende Eckpunkt des Parallelogramms $\overline {ABPP'}$.")
3) $\overline {ABQQ'}$ ist ein Parallelogramm.	folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
4) Aus $\overline {AB} \cong \overline {PP'}$ und $\overline {AB} \cong \overline {QQ'}$ folgt $\overline {PP'} \cong \overline {QQ'}$	(2), (3), Transitivität
5) $\overline {PQQ'P'}$ ist ein Parallelogramm.	(1), (4)

--Steph85

• oder : kompletter Beweis abfotographiert

Satz 2: Jede fixpunktfreie Bewegung, ... , ist eine Verschiebung.

Satzvormulierungen:
Jede fixpunktfreie Bewegung,
bei der die Geraden durch beliebibige Punkt und ihre jeweiligen Bildpunkte parallel zueinander verlaufen,
ist eine Verschiebung.

oder kürzer, aber ungenau:
Jede fixpunktfreie Bewegung, bei de die Parallelität der Bild-Bildpunkt-Geraden gegeben ist,
ist eine Verschiebung.
--Tja??? 18:07, 17. Nov. 2010 (UTC)

oder vielleicht: Jede Bewegung, bei der es (min.)2 verschiedene Fixgeraden gibt, ist eine Verschiebung.

Satz: $\ V$ $\overrightarrow{AB} =$ $\ V$ $\overrightarrow{DE}$unter der Vorraussetzung $\ AB \| \ DE$ , $\overline{AB} = \overline{DE}$ und $\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{DE}$ haben den gleichen Richtungssinn.

Vorraussetzung:
1.$\ AB \| \ DE$
2. $\overline{AB} = \overline{DE}$
3. $\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{DE}$ haben den gleichen Richtungssinn
Behauptung: $\ V$ $\overrightarrow{AB} =$ $\ V$ $\overrightarrow{DE}$
Beweis:
$\ P'$ ist das Bild von $\ P$ bei der Verschiebung $\ V$ $\overrightarrow{AB}$. $\ PP' \| \ DE$ , da die Parallelität von Geraden transitiv ist. Es genügt zu zeigen, das $\ P'E \| \ PD$. Dies gilt, wenn $\overline{PP'ED}$ ein Parallelogramm ist. Dies ist nach Voraussetzung und dem Hilfssatz der Fall. ...
q.e.d.
--Tetraeder 17:36, 18. Nov. 2010 (UTC)

Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck $\ ABCD$ gilt:$\ AB \| \ CD$ und $\overline{AB} = \overline{CD}$, dann ist $\ ABCD$ ein Parallelogramm.

Voraussetzung: konvexes Viereck $\ ABCD$, $\ AB \| \ CD$ und $\overline{AB} = \overline{CD}$
zu zeigen: $\ AD \| \ BC$

Beweis

Beweisschritt	Begründung
1) $\overline {AC} \cong \overline {AC}$	trivial (Reflexivität der Streckenkongruenz)
2) <DCA $\cong$<BAC	Wechselwinkelsatz+Voraussetzung
3) $\overline {ACD} = \overline {CAB}$	SWS: Voraussetzung+(1)+(2)
4) <BCA$\cong$<DAC	(3), Def. kongruente Dreiecke
5) $\ AD \| \ BC$	(4), Umkehrung des Wechselwinkelsatz

- Tja???

==== Alternativer Beweis ====

Wenn wir zeigen, dass die Punkte $\ A$ und $\ D$ den selben Abstand von der Geraden $\ BC$ haben , dann haben wir damit gezeigt, dass gilt: $\ AD \| \ BC$

Beweis

Beweisschritt	Begründung
1) Wir fällen das Lot von $\ A$ und $\ D$ auf die Gerade $\ BC$
2) $\angle \ LBA$ und $\angle \ L'CD$, sowie $\angle \ BAL$ und $\angle \ CDL'$ sind jeweil Stufenwinkel der Parallelen $\ {AB}$ und $\ {CD}$	Stufenwinkelsatz
3) $\overline {AB} \cong \overline {CD}$	Voraussetzung
4) Die Dreiecke $\overline {ABL}$ und $\overline {DL'C}$ sind kongruent	(2), (3), WSW
5) Die Punkte $\ A$ und $\ D$ haben somit den gleichen Abstand von $\ BC$. Daraus folgt, zusammen mit der Voraussetzung, dass $\overline {ABCD}$ ein Parallelogramm ist.

- Steph85