Verschiebungen 2010: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 18. November 2010, 12:40 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Konstruktion des Bildes eines Punkte bei einer Verschiebung
- 1.1 Unter Verwendung der Vektorrechnung (Pfeilklassen)
2 Konstruktionsbeschreibung
3 Definition der Verschiebung
- 3.1 Eine andere Möglichkeit der Definition?
4 Sätze
5 Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung.
6 Satz 2: Jede fixpunktfreie Bewegung, ... , ist eine Verschiebung.
7 Satz: Verschiebung am Pfreil AB ist identisch mit der Verschiebung am Pfeil DE unter der Vorraussetzung , und die Pfeile AB und DE den gleichen Richtungssinn haben.
- 7.1 Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck gilt: und , dann ist ein Parallelogramm.

Konstruktion des Bildes eines Punkte bei einer Verschiebung

Unter Verwendung der Vektorrechnung (Pfeilklassen)

"Konstruktionsvorschrift": $P'=P+\overrightarrow{AB}$

Konstruktionsbeschreibung

Gegeben sind ein Punkt $\ D$ und sein Bildpunkt $\ D'$ , sowie ein Punkt $\ P$ . Gesucht ist sein Bildpunkt $\ P'$ bei der Verschiebung an $\overrightarrow{DD'}$

(1) Für den Fall, dass gilt: $\ {D, D', P}$ sind nicht kollinear.

1. Parallele zu $\overline{DD'}$ durch $\ P$

2. Parallele zu $\overline{DP}$ durch $\ D'$

3. Der Schnittpunkt der beiden zuvor konstruierten Parallelen ist der gesuchte Punkt $\ P'$

(2) Für den Fall, dass gilt: $\ {D, D', P}$ sind kollinear.

1. Konstruiere einen beliebigen Punkt $\ Q$ der Ebene der nicht kollinear zu $\ {D, D', P}$ ist.

2. Konstruiere den Bildpunkt $\ Q'$ von $\ Q$ bei der Verschiebung an $\overrightarrow{DD'}$ , wie in (1) beschrieben.

3. Konstruiere nun den Bildpunkt $\ P'$ von $\ P$ bei der Verschiebung an $\overrightarrow{QQ'}$ wie in (1) beschrieben. $\ P'$ ist nun auch der gesuchte Bildpunkt für die Verschiebung an $\overrightarrow{DD'}$ , da $\overrightarrow{DD'}$ und $\overrightarrow{QQ'}$ den gleichen Richtungssinn haben. --Steph85

>Eine gute Konstruktionsanweisung! Nur kann man schreiben: Parallele zu einer Strecke? Oder sollte man nicht lieber die "Overline" in Fall1, Punkt 1 und 2 weglassen? weglassen? --Tja??? 17:11, 17. Nov. 2010 (UTC)

Definition der Verschiebung

...

Eine andere Möglichkeit der Definition?

Es sei $\vec{AB}$ ein Pfeil. Unter der Verschiebung längs des Pfeiles $\vec{AB}$ vresteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, mit folgenden Eigenschaften:
Für das Bild eines Punktes P, benannt mit P' muss gelten:
1. $|\ AB | = |\ PP'|$
2. $\overline{AB}$ $\|$ $\overline{PP'}$
3. $\vec{AB}$ und $\vec{PP'}$ haben den selbern Richtungssinn
--Tja??? 17:23, 16. Nov. 2010 (UTC)

Sätze

Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung.

An dieser Stelle wird nur der allgemeinste Fall bewiesen (siehe Skizze), da die Beweise der anderen Fälle laut Herr Gieding immer ähnlich ablaufen.

Es sei $\ V$ eine Verschiebung längs des Pfeiles $\overrightarrow{AB}$ und $\ {P,Q}$ zwei beliebige Punkte der Ebene mit ihren Bildern $\ {P',Q'}$ bei $\ V$ , die voneinander verschieden sind und nicht auf dem Pfeil $\overrightarrow{AB}$ liegen.
Wir haben zu zeigen, dass $\overline{PQ} \cong \overline {P'Q'}$ ist. Es genügt natürlich zu zeigen, dass $\overline {PQQ'P'}$ ein Parallelogramm ist, da in jedem Parllelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.

Beweisschritt	Begründung
1) $\overline {PP'} \\| \overline {QQ'}$	folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
2) $\overline {ABPP'}$ ist ein Parallelogramm.	folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung ("Das Bild des Punktes $\ P$ ist der fehlende Eckpunkt des Parallelogramms $\overline {ABPP'}$ .")
3) $\overline {ABQQ'}$ ist ein Parallelogramm.	folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
4) Aus $\overline {AB} \cong \overline {PP'}$ und $\overline {AB} \cong \overline {QQ'}$ folgt $\overline {PP'} \cong \overline {QQ'}$	(2), (3), Transitivität
5) $\overline {PQQ'P'}$ ist ein Parallelogramm.	(1), (4)

--Steph85

oder : kompletter Beweis abfotographiert

Satz 2: Jede fixpunktfreie Bewegung, ... , ist eine Verschiebung.

Satzvormulierungen:
Jede fixpunktfreie Bewegung,
bei der die Geraden durch beliebibige Punkt und ihre jeweiligen Bildpunkte parallel zueinander verlaufen,
ist eine Verschiebung.

oder kürzer, aber ungenau:
Jede fixpunktfreie Bewegung, bei de die Parallelität der Bild-Bildpunkt-Geraden gegeben ist,
ist eine Verschiebung.
--Tja??? 18:07, 17. Nov. 2010 (UTC)

Satz: Verschiebung am Pfreil AB ist identisch mit der Verschiebung am Pfeil DE unter der Vorraussetzung $\ AB \| \ DE$ , $\overline{AB} = \overline{DE}$ und die Pfeile AB und DE den gleichen Richtungssinn haben.

Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck $\ ABCD$ gilt: $\ AB \| \ CD$ und $\overline{AB} = \overline{CD}$ , dann ist $\ ABCD$ ein Parallelogramm.

@@ Zeile 90: / Zeile 90: @@
 Jede fixpunktfreie Bewegung, bei de die Parallelität der Bild-Bildpunkt-Geraden gegeben ist, <br />ist eine Verschiebung.<br />
 --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 18:07, 17. Nov. 2010 (UTC)
+== Satz: Verschiebung am Pfreil AB ist identisch mit der Verschiebung am Pfeil DE unter der Vorraussetzung <math>\ AB \| \ DE</math> , <math> \overline{AB} = \overline{DE}</math> und die Pfeile AB und DE den gleichen Richtungssinn haben. ==
+=== Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck <math>\ ABCD</math> gilt:<math>\ AB \| \ CD</math> und <math> \overline{AB} = \overline{CD}</math>, dann ist <math>\ ABCD</math> ein Parallelogramm. ===

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Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung.

Satz 2: Jede fixpunktfreie Bewegung, ... , ist eine Verschiebung.

Satz: Verschiebung am Pfreil AB ist identisch mit der Verschiebung am Pfeil DE unter der Vorraussetzung $\ AB \| \ DE$ , $\overline{AB} = \overline{DE}$ und die Pfeile AB und DE den gleichen Richtungssinn haben.

Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck $\ ABCD$ gilt: $\ AB \| \ CD$ und $\overline{AB} = \overline{CD}$ , dann ist $\ ABCD$ ein Parallelogramm.

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Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung.

Satz 2: Jede fixpunktfreie Bewegung, ... , ist eine Verschiebung.

Satz: Verschiebung am Pfreil AB ist identisch mit der Verschiebung am Pfeil DE unter der Vorraussetzung , und die Pfeile AB und DE den gleichen Richtungssinn haben.

Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck gilt: und , dann ist ein Parallelogramm.

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Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck $\ ABCD$ gilt: $\ AB \| \ CD$ und $\overline{AB} = \overline{CD}$ , dann ist $\ ABCD$ ein Parallelogramm.