Verschiebungen 2010: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 18. November 2010, 12:01 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Konstruktion des Bildes eines Punkte bei einer Verschiebung
- 1.1 Unter Verwendung der Vektorrechnung (Pfeilklassen)
2 Konstruktionsbeschreibung
3 Definition der Verschiebung
- 3.1 Eine andere Möglichkeit der Definition?
4 Sätze
5 Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung.
6 Satz 2: Jede fixpunktfreie Bewegung, ... , ist eine Verschiebung.
7 Satz: Verschiebung am Pfreil AB ist identisch mit der Verschiebung am Pfeil DE unter der Vorraussetzung , und die Pfeile AB und DE den gleichen Richtungssinn haben.
- 7.1 Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck gilt: und , dann ist ein Parallelogramm.

Konstruktion des Bildes eines Punkte bei einer Verschiebung

Unter Verwendung der Vektorrechnung (Pfeilklassen)

"Konstruktionsvorschrift": $P'=P+\overrightarrow{AB}$

Konstruktionsbeschreibung

Gegeben sind ein Punkt $\ D$ und sein Bildpunkt $\ D'$ , sowie ein Punkt $\ P$ . Gesucht ist sein Bildpunkt $\ P'$ bei der Verschiebung an $\overrightarrow{DD'}$

(1) Für den Fall, dass gilt: $\ {D, D', P}$ sind nicht kollinear.

1. Parallele zu $\overline{DD'}$ durch $\ P$

2. Parallele zu $\overline{DP}$ durch $\ D'$

3. Der Schnittpunkt der beiden zuvor konstruierten Parallelen ist der gesuchte Punkt $\ P'$

(2) Für den Fall, dass gilt: $\ {D, D', P}$ sind kollinear.

1. Konstruiere einen beliebigen Punkt $\ Q$ der Ebene der nicht kollinear zu $\ {D, D', P}$ ist.

2. Konstruiere den Bildpunkt $\ Q'$ von $\ Q$ bei der Verschiebung an $\overrightarrow{DD'}$ , wie in (1) beschrieben.

3. Konstruiere nun den Bildpunkt $\ P'$ von $\ P$ bei der Verschiebung an $\overrightarrow{QQ'}$ wie in (1) beschrieben. $\ P'$ ist nun auch der gesuchte Bildpunkt für die Verschiebung an $\overrightarrow{DD'}$ , da $\overrightarrow{DD'}$ und $\overrightarrow{QQ'}$ den gleichen Richtungssinn haben. --Steph85

>Eine gute Konstruktionsanweisung! Nur kann man schreiben: Parallele zu einer Strecke? Oder sollte man nicht lieber die "Overline" in Fall1, Punkt 1 und 2 weglassen? weglassen? --Tja??? 17:11, 17. Nov. 2010 (UTC)

Definition der Verschiebung

...

Eine andere Möglichkeit der Definition?

Es sei $\vec{AB}$ ein Pfeil. Unter der Verschiebung längs des Pfeiles $\vec{AB}$ vresteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, mit folgenden Eigenschaften:
Für das Bild eines Punktes P, benannt mit P' muss gelten:
1. $|\ AB | = |\ PP'|$
2. $\overline{AB}$ $\|$ $\overline{PP'}$
3. $\vec{AB}$ und $\vec{PP'}$ haben den selbern Richtungssinn
--Tja??? 17:23, 16. Nov. 2010 (UTC)

Sätze

Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung.

An dieser Stelle wird nur der allgemeinste Fall bewiesen (siehe Skizze), da die Beweise der anderen Fälle laut Herr Gieding immer ähnlich ablaufen.

Es sei $\ V$ eine Verschiebung längs des Pfeiles $\overrightarrow{AB}$ und $\ {P,Q}$ zwei beliebige Punkte der Ebene mit ihren Bildern $\ {P',Q'}$ bei $\ V$ , die voneinander verschieden sind und nicht auf dem Pfeil $\overrightarrow{AB}$ liegen.
Wir haben zu zeigen, dass $\overline{PQ} \cong \overline {P'Q'}$ ist. Es genügt natürlich zu zeigen, dass $\overline {PQQ'P'}$ ein Parallelogramm ist, da in jedem Parllelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.

Beweisschritt	Begründung
1) $\overline {PP'} \\| \overline {QQ'}$	folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
2) $\overline {ABPP'}$ ist ein Parallelogramm.	folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung ("Das Bild des Punktes $\ P$ ist der fehlende Eckpunkt des Parallelogramms $\overline {ABPP'}$ .")
3) $\overline {ABQQ'}$ ist ein Parallelogramm.	folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
4) Aus $\overline {AB} \cong \overline {PP'}$ und $\overline {AB} \cong \overline {QQ'}$ folgt $\overline {PP'} \cong \overline {QQ'}$	(2), (3), Transitivität
5) $\overline {PQQ'P'}$ ist ein Parallelogramm.	(1), (4)

--Steph85

oder : kompletter Beweis abfotographiert

Satz 2: Jede fixpunktfreie Bewegung, ... , ist eine Verschiebung.

Satzvormulierungen:
Jede fixpunktfreie Bewegung,
bei der die Geraden durch beliebibige Punkt und ihre jeweiligen Bildpunkte parallel zueinander verlaufen,
ist eine Verschiebung.

oder kürzer, aber ungenau:
Jede fixpunktfreie Bewegung, bei de die Parallelität der Bild-Bildpunkt-Geraden gegeben ist,
ist eine Verschiebung.
--Tja??? 18:07, 17. Nov. 2010 (UTC)

Satz: Verschiebung am Pfreil AB ist identisch mit der Verschiebung am Pfeil DE unter der Vorraussetzung $\ AB \| \ DE$ , $\overline{AB} = \overline{DE}$ und die Pfeile AB und DE den gleichen Richtungssinn haben.

Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck $\ ABCD$ gilt: $\ AB \| \ CD$ und $\overline{AB} = \overline{CD}$ , dann ist $\ ABCD$ ein Parallelogramm.

Voraussetzung: konvexes Viereck $\ ABCD$ , $\ AB \| \ CD$ und $\overline{AB} = \overline{CD}$
zu zeigen: $\ AD \| \ BC$

Beweis

Beweisschritt	Begründung
1) $\overline {AC} \cong \overline {AC}$	trivial (Reflexivität der Streckenkongruenz)
2) <DCA $\cong$ <BAC	Wechselwinkelsatz+Voraussetzung
3) $\overline {ACD} = \overline {CAB}$	SWS: Voraussetzung+(1)+(2)
4) <BCA $\cong$ <DAC	(3), Def. kongruente Dreiecke
5) $\ AD \\| \ BC$	(4), Umkehrung des Wechselwinkelsatz

@@ Zeile 96: / Zeile 96: @@
 Voraussetzung: konvexes Viereck <math>\ ABCD</math>, <math>\ AB \| \ CD</math> und <math> \overline{AB} = \overline{CD}</math><br />
 zu zeigen: <math>\ AD \| \ BC </math> <br />
+<ggb_applet width="317" height="356"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 Beweis

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Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung.

Satz 2: Jede fixpunktfreie Bewegung, ... , ist eine Verschiebung.

Satz: Verschiebung am Pfreil AB ist identisch mit der Verschiebung am Pfeil DE unter der Vorraussetzung $\ AB \| \ DE$ , $\overline{AB} = \overline{DE}$ und die Pfeile AB und DE den gleichen Richtungssinn haben.

Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck $\ ABCD$ gilt: $\ AB \| \ CD$ und $\overline{AB} = \overline{CD}$ , dann ist $\ ABCD$ ein Parallelogramm.

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Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung.

Satz 2: Jede fixpunktfreie Bewegung, ... , ist eine Verschiebung.

Satz: Verschiebung am Pfreil AB ist identisch mit der Verschiebung am Pfeil DE unter der Vorraussetzung , und die Pfeile AB und DE den gleichen Richtungssinn haben.

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Satz: Verschiebung am Pfreil AB ist identisch mit der Verschiebung am Pfeil DE unter der Vorraussetzung $\ AB \| \ DE$ , $\overline{AB} = \overline{DE}$ und die Pfeile AB und DE den gleichen Richtungssinn haben.

Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck $\ ABCD$ gilt: $\ AB \| \ CD$ und $\overline{AB} = \overline{CD}$ , dann ist $\ ABCD$ ein Parallelogramm.