Verschiebungen 2010: Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Satz 2: Jede fixpunktfreie Bewegung, ... , ist eine Verschiebung.)
 
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:: 3. Konstruiere nun den Bildpunkt <math>\ P'</math> von <math>\ P</math> bei der Verschiebung an <math>\overrightarrow{QQ'}</math> wie in (1) beschrieben. <math>\ P'</math> ist nun auch der gesuchte Bildpunkt für die Verschiebung an <math>\overrightarrow{DD'}</math>, da <math>\overrightarrow{DD'}</math> und <math>\overrightarrow{QQ'}</math> den gleichen Richtungssinn haben. --[[Benutzer:Steph85|Steph85]]
 
:: 3. Konstruiere nun den Bildpunkt <math>\ P'</math> von <math>\ P</math> bei der Verschiebung an <math>\overrightarrow{QQ'}</math> wie in (1) beschrieben. <math>\ P'</math> ist nun auch der gesuchte Bildpunkt für die Verschiebung an <math>\overrightarrow{DD'}</math>, da <math>\overrightarrow{DD'}</math> und <math>\overrightarrow{QQ'}</math> den gleichen Richtungssinn haben. --[[Benutzer:Steph85|Steph85]]
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>Eine gute Konstruktionsanweisung! Nur kann man schreiben: Parallele zu einer Strecke? Oder sollte man nicht lieber die "Overline" in Fall1, Punkt 1 und 2 weglassen? weglassen? --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 17:11, 17. Nov. 2010 (UTC)
  
 
== Definition der Verschiebung ==
 
== Definition der Verschiebung ==
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== Sätze ==
 
== Sätze ==
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== Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung. ==
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An dieser Stelle wird nur der allgemeinste Fall bewiesen (siehe Skizze), da die Beweise der anderen Fälle laut Herr Gieding immer ähnlich ablaufen.
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 +
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<br /><br />
 +
<br />Es sei <math>\ V</math> eine Verschiebung längs des Pfeiles <math>\overrightarrow{AB}</math> und <math>\ {P,Q}</math> zwei beliebige Punkte der Ebene mit ihren Bildern <math>\ {P',Q'}</math> bei <math>\ V</math>, die voneinander verschieden sind und nicht auf dem Pfeil <math>\overrightarrow{AB}</math> liegen.
 +
<br />
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Wir haben zu zeigen, dass <math>\overline{PQ} \cong \overline {P'Q'}</math> ist. Es genügt natürlich zu zeigen, dass <math>\overline {PQQ'P'}</math> ein Parallelogramm ist, da in jedem Parllelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.
 +
<br />
 +
{| class="wikitable "
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! Beweisschritt
 +
! Begründung
 +
|-
 +
| 1) <math>\overline {PP'} \| \overline {QQ'}</math>
 +
| folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
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|-
 +
| 2) <math>\overline {ABPP'} </math> ist ein Parallelogramm.
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| folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung ("Das Bild des Punktes <math>\ P</math> ist der fehlende Eckpunkt des Parallelogramms <math>\overline {ABPP'} </math>.")
 +
|-
 +
| 3) <math>\overline {ABQQ'} </math> ist ein Parallelogramm.
 +
| folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
 +
|-
 +
| 4) Aus <math>\overline {AB} \cong \overline {PP'}</math> und <math>\overline {AB} \cong \overline {QQ'}</math> folgt <math>\overline {PP'} \cong \overline {QQ'}</math>
 +
| (2), (3), Transitivität
 +
|-
 +
| 5) <math>\overline {PQQ'P'} </math> ist ein Parallelogramm.
 +
| (1), (4)
 +
|-
 +
|}
 +
 +
<br />
 +
--[[Benutzer:Steph85|Steph85]]
 +
 +
* oder : [[kompletter Beweis abfotographiert]]
 +
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== Satz 2: Jede fixpunktfreie Bewegung, ... , ist eine Verschiebung. ==
 +
Satzvormulierungen:<br />
 +
Jede fixpunktfreie Bewegung, <br />bei der die Geraden durch beliebibige Punkt und ihre jeweiligen Bildpunkte parallel zueinander verlaufen,<br /> ist eine Verschiebung.<br /><br />
 +
 +
oder kürzer, aber ungenau:<br />
 +
Jede fixpunktfreie Bewegung, bei de die Parallelität der Bild-Bildpunkt-Geraden gegeben ist, <br />ist eine Verschiebung.<br />
 +
--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 18:07, 17. Nov. 2010 (UTC)
 +
 +
oder vielleicht:
 +
Jede Bewegung, bei der es (min.)2 verschiedene Fixgeraden gibt, ist eine Verschiebung.
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 +
== Satz: <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{AB} =</math>  <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{DE} </math>unter der Vorraussetzung <math>\ AB \| \ DE</math> , <math> \overline{AB} = \overline{DE}</math> und <math>\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{DE}</math> haben den gleichen Richtungssinn. ==
 +
 +
 +
'''Vorraussetzung:'''<br /> 1.<math>\ AB \| \ DE</math><br />2. <math> \overline{AB} = \overline{DE}</math><br /> 3. <math>\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{DE}</math> haben den gleichen Richtungssinn<br />
 +
'''Behauptung:'''
 +
<math>\ V</math> <math>\overrightarrow{AB} =</math>  <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{DE} </math><br />
 +
'''Beweis:'''<br />
 +
<math>\ P'</math> ist das Bild von <math>\ P</math> bei der Verschiebung <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{AB} </math>. <math>\ PP' \| \ DE</math> , da die Parallelität von Geraden transitiv ist. Es genügt zu zeigen, das <math>\ P'E \| \ PD</math>. Dies gilt, wenn <math>\overline{PP'ED}</math> ein Parallelogramm ist. Dies ist nach Voraussetzung und dem Hilfssatz der Fall.
 +
...<br />q.e.d.<br />
 +
--[[Benutzer:Tetraeder|Tetraeder]] 17:36, 18. Nov. 2010 (UTC)
 +
 +
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=== Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck <math>\ ABCD</math> gilt:<math>\ AB \| \ CD</math> und <math> \overline{AB} = \overline{CD}</math>, dann ist <math>\ ABCD</math> ein Parallelogramm. ===
 +
 +
Voraussetzung: konvexes Viereck <math>\ ABCD</math>, <math>\ AB \| \ CD</math> und <math> \overline{AB} = \overline{CD}</math><br />
 +
zu zeigen: <math>\ AD \| \ BC </math> <br />
 +
<ggb_applet width="317" height="356"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 +
 +
Beweis
 +
{| class="wikitable "
 +
! Beweisschritt
 +
! Begründung
 +
|-
 +
| 1) <math>\overline {AC} \cong \overline {AC}</math>
 +
| trivial (Reflexivität der Streckenkongruenz)
 +
|-
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| 2)  <DCA <math> \cong </math><BAC
 +
| Wechselwinkelsatz+Voraussetzung
 +
|-
 +
| 3) <math>\overline {ACD} = \overline {CAB}</math>
 +
| SWS: Voraussetzung+(1)+(2)
 +
|-
 +
| 4) <BCA<math>\cong </math><DAC
 +
| (3), Def. kongruente Dreiecke
 +
|-
 +
| 5) <math>\ AD \| \ BC </math> 
 +
| (4), Umkehrung des Wechselwinkelsatz
 +
|-
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|} - Tja???
 +
<br /><br />
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<br />
 +
 +
'''==== Alternativer Beweis ===='''<br />
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<br />
 +
Wenn wir zeigen, dass die Punkte <math>\ A </math> und <math>\ D </math> den selben Abstand von der Geraden <math>\ BC </math> haben , dann haben wir damit gezeigt, dass gilt: <math>\ AD \| \ BC </math> <br />
 +
 +
<ggb_applet width="746" height="459"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 +
<br />
 +
Beweis
 +
{| class="wikitable "
 +
! Beweisschritt
 +
! Begründung
 +
|-
 +
| 1) Wir fällen das Lot von <math>\ A</math> und <math>\ D</math> auf die Gerade <math>\ BC</math>
 +
|
 +
|-
 +
 +
| 2) <math>\angle \ LBA </math> und <math>\angle \ L'CD</math>, sowie <math>\angle \ BAL</math> und <math>\angle \ CDL'</math> sind jeweil Stufenwinkel der Parallelen <math> \ {AB}</math> und <math> \ {CD}</math>
 +
| Stufenwinkelsatz
 +
|-
 +
| 3) <math>\overline {AB} \cong \overline {CD}</math>
 +
| Voraussetzung
 +
|-
 +
| 4) Die Dreiecke <math> \overline {ABL}</math> und <math> \overline {DL'C}</math> sind kongruent
 +
| (2), (3), WSW
 +
|-
 +
| 5) Die Punkte <math>\ A</math> und <math>\ D</math> haben somit den gleichen Abstand von <math>\ BC</math>. Daraus folgt, zusammen mit der Voraussetzung, dass <math> \overline {ABCD} </math> ein Parallelogramm ist.
 +
|
 +
|-
 +
|} - Steph85
 +
<br /><br />
 +
<br />

Aktuelle Version vom 23. November 2010, 12:38 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Konstruktion des Bildes eines Punkte bei einer Verschiebung

Unter Verwendung der Vektorrechnung (Pfeilklassen)



"Konstruktionsvorschrift": P'=P+\overrightarrow{AB}



Konstruktionsbeschreibung

Gegeben sind ein Punkt \ D und sein Bildpunkt \ D', sowie ein Punkt \ P. Gesucht ist sein Bildpunkt \ P'bei der Verschiebung an \overrightarrow{DD'}

(1) Für den Fall, dass gilt: \ {D, D', P} sind nicht kollinear.

1. Parallele zu \overline{DD'} durch \ P
2. Parallele zu \overline{DP} durch \ D'
3. Der Schnittpunkt der beiden zuvor konstruierten Parallelen ist der gesuchte Punkt \ P'

(2) Für den Fall, dass gilt: \ {D, D', P} sind kollinear.

1. Konstruiere einen beliebigen Punkt \ Q der Ebene der nicht kollinear zu \ {D, D', P} ist.
2. Konstruiere den Bildpunkt \ Q' von \ Q bei der Verschiebung an \overrightarrow{DD'}, wie in (1) beschrieben.
3. Konstruiere nun den Bildpunkt \ P' von \ P bei der Verschiebung an \overrightarrow{QQ'} wie in (1) beschrieben. \ P' ist nun auch der gesuchte Bildpunkt für die Verschiebung an \overrightarrow{DD'}, da \overrightarrow{DD'} und \overrightarrow{QQ'} den gleichen Richtungssinn haben. --Steph85

>Eine gute Konstruktionsanweisung! Nur kann man schreiben: Parallele zu einer Strecke? Oder sollte man nicht lieber die "Overline" in Fall1, Punkt 1 und 2 weglassen? weglassen? --Tja??? 17:11, 17. Nov. 2010 (UTC)

Definition der Verschiebung

...

Eine andere Möglichkeit der Definition?

Es sei \vec{AB} ein Pfeil. Unter der Verschiebung längs des Pfeiles \vec{AB} vresteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, mit folgenden Eigenschaften:
Für das Bild eines Punktes P, benannt mit P' muss gelten:
1. |\ AB | = |\ PP'|
2. \overline{AB} \| \overline{PP'}
3. \vec{AB} und \vec{PP'} haben den selbern Richtungssinn
--Tja??? 17:23, 16. Nov. 2010 (UTC)

Sätze

Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung.

An dieser Stelle wird nur der allgemeinste Fall bewiesen (siehe Skizze), da die Beweise der anderen Fälle laut Herr Gieding immer ähnlich ablaufen.




Es sei \ V eine Verschiebung längs des Pfeiles \overrightarrow{AB} und \ {P,Q} zwei beliebige Punkte der Ebene mit ihren Bildern \ {P',Q'} bei \ V, die voneinander verschieden sind und nicht auf dem Pfeil \overrightarrow{AB} liegen.
Wir haben zu zeigen, dass \overline{PQ} \cong \overline {P'Q'} ist. Es genügt natürlich zu zeigen, dass \overline {PQQ'P'} ein Parallelogramm ist, da in jedem Parllelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.

Beweisschritt Begründung
1) \overline {PP'} \| \overline {QQ'} folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
2) \overline {ABPP'} ist ein Parallelogramm. folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung ("Das Bild des Punktes \ P ist der fehlende Eckpunkt des Parallelogramms \overline {ABPP'} .")
3) \overline {ABQQ'} ist ein Parallelogramm. folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
4) Aus \overline {AB} \cong \overline {PP'} und \overline {AB} \cong \overline {QQ'} folgt \overline {PP'} \cong \overline {QQ'} (2), (3), Transitivität
5) \overline {PQQ'P'} ist ein Parallelogramm. (1), (4)


--Steph85

Satz 2: Jede fixpunktfreie Bewegung, ... , ist eine Verschiebung.

Satzvormulierungen:
Jede fixpunktfreie Bewegung,
bei der die Geraden durch beliebibige Punkt und ihre jeweiligen Bildpunkte parallel zueinander verlaufen,
ist eine Verschiebung.

oder kürzer, aber ungenau:
Jede fixpunktfreie Bewegung, bei de die Parallelität der Bild-Bildpunkt-Geraden gegeben ist,
ist eine Verschiebung.
--Tja??? 18:07, 17. Nov. 2010 (UTC)

oder vielleicht: Jede Bewegung, bei der es (min.)2 verschiedene Fixgeraden gibt, ist eine Verschiebung.

Satz: \ V \overrightarrow{AB} = \ V \overrightarrow{DE} unter der Vorraussetzung \ AB \| \ DE , \overline{AB} = \overline{DE} und \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{DE} haben den gleichen Richtungssinn.

Vorraussetzung:
1.\ AB \| \ DE
2. \overline{AB} = \overline{DE}
3. \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{DE} haben den gleichen Richtungssinn
Behauptung: \ V \overrightarrow{AB} = \ V \overrightarrow{DE}
Beweis:
\ P' ist das Bild von \ P bei der Verschiebung \ V \overrightarrow{AB} . \ PP' \| \ DE , da die Parallelität von Geraden transitiv ist. Es genügt zu zeigen, das \ P'E \| \ PD. Dies gilt, wenn \overline{PP'ED} ein Parallelogramm ist. Dies ist nach Voraussetzung und dem Hilfssatz der Fall. ...
q.e.d.
--Tetraeder 17:36, 18. Nov. 2010 (UTC)


Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck \ ABCD gilt:\ AB \| \ CD und \overline{AB} = \overline{CD}, dann ist \ ABCD ein Parallelogramm.

Voraussetzung: konvexes Viereck \ ABCD, \ AB \| \ CD und \overline{AB} = \overline{CD}
zu zeigen: \ AD \| \ BC

Beweis

Beweisschritt Begründung
1) \overline {AC} \cong \overline {AC} trivial (Reflexivität der Streckenkongruenz)
2) <DCA \cong <BAC Wechselwinkelsatz+Voraussetzung
3) \overline {ACD} = \overline {CAB} SWS: Voraussetzung+(1)+(2)
4) <BCA\cong <DAC (3), Def. kongruente Dreiecke
5) \ AD \| \ BC (4), Umkehrung des Wechselwinkelsatz
- Tja???




==== Alternativer Beweis ====

Wenn wir zeigen, dass die Punkte \ A und \ D den selben Abstand von der Geraden \ BC haben , dann haben wir damit gezeigt, dass gilt: \ AD \| \ BC


Beweis

Beweisschritt Begründung
1) Wir fällen das Lot von \ A und \ D auf die Gerade \ BC
2) \angle \ LBA und \angle \ L'CD, sowie \angle \ BAL und \angle \ CDL' sind jeweil Stufenwinkel der Parallelen \ {AB} und \ {CD} Stufenwinkelsatz
3) \overline {AB} \cong \overline {CD} Voraussetzung
4) Die Dreiecke \overline {ABL} und \overline {DL'C} sind kongruent (2), (3), WSW
5) Die Punkte \ A und \ D haben somit den gleichen Abstand von \ BC. Daraus folgt, zusammen mit der Voraussetzung, dass \overline {ABCD} ein Parallelogramm ist.
- Steph85




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