Verschiebungen 2010: Unterschied zwischen den Versionen

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:: 3. Konstruiere nun den Bildpunkt <math>\ P'</math> von <math>\ P</math> bei der Verschiebung an <math>\overrightarrow{QQ'}</math> wie in (1) beschrieben. <math>\ P'</math> ist nun auch der gesuchte Bildpunkt für die Verschiebung an <math>\overrightarrow{DD'}</math>, da <math>\overrightarrow{DD'}</math> und <math>\overrightarrow{QQ'}</math> den gleichen Richtungssinn haben. --[[Benutzer:Steph85|Steph85]]
 
:: 3. Konstruiere nun den Bildpunkt <math>\ P'</math> von <math>\ P</math> bei der Verschiebung an <math>\overrightarrow{QQ'}</math> wie in (1) beschrieben. <math>\ P'</math> ist nun auch der gesuchte Bildpunkt für die Verschiebung an <math>\overrightarrow{DD'}</math>, da <math>\overrightarrow{DD'}</math> und <math>\overrightarrow{QQ'}</math> den gleichen Richtungssinn haben. --[[Benutzer:Steph85|Steph85]]
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>Eine gute Konstruktionsanweisung! Nur kann man schreiben: Parallele zu einer Strecke? Oder sollte man nicht lieber die "Overline" in Fall1, Punkt 1 und 2 weglassen? weglassen? --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 17:11, 17. Nov. 2010 (UTC)
  
 
== Definition der Verschiebung ==
 
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== Sätze ==
 
== Sätze ==
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== Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung. ==
 
== Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung. ==
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<br />Es sei <math>\ V</math> eine Verschiebung längs des Pfeiles <math>\overrightarrow{AB}</math> und <math>\ {P,Q}</math> zwei beliebige Punkte der Ebene mit ihren Bilden <math>\ {P',Q'}</math> bei <math>\ V</math>, die voneinander verschieden sind und nicht auf dem Pfeil <math>\overrightarrow{AB}</math> liegen.
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<br />Es sei <math>\ V</math> eine Verschiebung längs des Pfeiles <math>\overrightarrow{AB}</math> und <math>\ {P,Q}</math> zwei beliebige Punkte der Ebene mit ihren Bildern <math>\ {P',Q'}</math> bei <math>\ V</math>, die voneinander verschieden sind und nicht auf dem Pfeil <math>\overrightarrow{AB}</math> liegen.
 
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Wir haben zu zeigen, dass <math>\overline{PQ} \cong \overline {P'Q'}</math> ist. Es genügt natürlich zu zeigen, dass <math>\overline {PQQ'P'}</math> ein Parallelogramm ist, da in jedem Parllelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.
 
Wir haben zu zeigen, dass <math>\overline{PQ} \cong \overline {P'Q'}</math> ist. Es genügt natürlich zu zeigen, dass <math>\overline {PQQ'P'}</math> ein Parallelogramm ist, da in jedem Parllelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.
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== Satz 2: Jede fixpunktfreie Bewegung, ... , ist eine Verschiebung. ==
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Satzvormulierungen:<br />
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Jede fixpunktfreie Bewegung, <br />bei der die Geraden durch beliebibige Punkt und ihre jeweiligen Bildpunkte parallel zueinander verlaufen,<br /> ist eine Verschiebung.<br /><br />
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oder kürzer, aber ungenau:<br />
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Jede fixpunktfreie Bewegung, bei de die Parallelität der Bild-Bildpunkt-Geraden gegeben ist, <br />ist eine Verschiebung.<br />
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--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 18:07, 17. Nov. 2010 (UTC)
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oder vielleicht:
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Jede Bewegung, bei der es (min.)2 verschiedene Fixgeraden gibt, ist eine Verschiebung.
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== Satz: <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{AB} =</math>  <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{DE} </math>unter der Vorraussetzung <math>\ AB \| \ DE</math> , <math> \overline{AB} = \overline{DE}</math> und <math>\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{DE}</math> haben den gleichen Richtungssinn. ==
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'''Vorraussetzung:'''<br /> 1.<math>\ AB \| \ DE</math><br />2. <math> \overline{AB} = \overline{DE}</math><br /> 3. <math>\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{DE}</math> haben den gleichen Richtungssinn<br />
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'''Behauptung:'''
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<math>\ V</math> <math>\overrightarrow{AB} =</math>  <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{DE} </math><br />
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'''Beweis:'''<br />
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<math>\ P'</math> ist das Bild von <math>\ P</math> bei der Verschiebung <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{AB} </math>. <math>\ PP' \| \ DE</math> , da die Parallelität von Geraden transitiv ist. Es genügt zu zeigen, das <math>\ P'E \| \ PD</math>. Dies gilt, wenn <math>\overline{PP'ED}</math> ein Parallelogramm ist. Dies ist nach Voraussetzung und dem Hilfssatz der Fall.
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...<br />q.e.d.<br />
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--[[Benutzer:Tetraeder|Tetraeder]] 17:36, 18. Nov. 2010 (UTC)
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=== Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck <math>\ ABCD</math> gilt:<math>\ AB \| \ CD</math> und <math> \overline{AB} = \overline{CD}</math>, dann ist <math>\ ABCD</math> ein Parallelogramm. ===
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Voraussetzung: konvexes Viereck <math>\ ABCD</math>, <math>\ AB \| \ CD</math> und <math> \overline{AB} = \overline{CD}</math><br />
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zu zeigen: <math>\ AD \| \ BC </math> <br />
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Beweis
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| (3), Def. kongruente Dreiecke
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| (4), Umkehrung des Wechselwinkelsatz
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'''==== Alternativer Beweis ===='''<br />
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Wenn wir zeigen, dass die Punkte <math>\ A </math> und <math>\ D </math> den selben Abstand von der Geraden <math>\ BC </math> haben , dann haben wir damit gezeigt, dass gilt: <math>\ AD \| \ BC </math> <br />
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Beweis
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{| class="wikitable "
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! Beweisschritt
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! Begründung
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| 1) Wir fällen das Lot von <math>\ A</math> und <math>\ D</math> auf die Gerade <math>\ BC</math>
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| 2) <math>\angle \ LBA </math> und <math>\angle \ L'CD</math>, sowie <math>\angle \ BAL</math> und <math>\angle \ CDL'</math> sind jeweil Stufenwinkel der Parallelen <math> \ {AB}</math> und <math> \ {CD}</math>
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| 3) <math>\overline {AB} \cong \overline {CD}</math>
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| Voraussetzung
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| 4) Die Dreiecke <math> \overline {ABL}</math> und <math> \overline {DL'C}</math> sind kongruent
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| (2), (3), WSW
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| 5) Die Punkte <math>\ A</math> und <math>\ D</math> haben somit den gleichen Abstand von <math>\ BC</math>. Daraus folgt, zusammen mit der Voraussetzung, dass <math> \overline {ABCD} </math> ein Parallelogramm ist.
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|} - Steph85
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Aktuelle Version vom 23. November 2010, 12:38 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Konstruktion des Bildes eines Punkte bei einer Verschiebung

Unter Verwendung der Vektorrechnung (Pfeilklassen)



"Konstruktionsvorschrift": P'=P+\overrightarrow{AB}



Konstruktionsbeschreibung

Gegeben sind ein Punkt \ D und sein Bildpunkt \ D', sowie ein Punkt \ P. Gesucht ist sein Bildpunkt \ P'bei der Verschiebung an \overrightarrow{DD'}

(1) Für den Fall, dass gilt: \ {D, D', P} sind nicht kollinear.

1. Parallele zu \overline{DD'} durch \ P
2. Parallele zu \overline{DP} durch \ D'
3. Der Schnittpunkt der beiden zuvor konstruierten Parallelen ist der gesuchte Punkt \ P'

(2) Für den Fall, dass gilt: \ {D, D', P} sind kollinear.

1. Konstruiere einen beliebigen Punkt \ Q der Ebene der nicht kollinear zu \ {D, D', P} ist.
2. Konstruiere den Bildpunkt \ Q' von \ Q bei der Verschiebung an \overrightarrow{DD'}, wie in (1) beschrieben.
3. Konstruiere nun den Bildpunkt \ P' von \ P bei der Verschiebung an \overrightarrow{QQ'} wie in (1) beschrieben. \ P' ist nun auch der gesuchte Bildpunkt für die Verschiebung an \overrightarrow{DD'}, da \overrightarrow{DD'} und \overrightarrow{QQ'} den gleichen Richtungssinn haben. --Steph85

>Eine gute Konstruktionsanweisung! Nur kann man schreiben: Parallele zu einer Strecke? Oder sollte man nicht lieber die "Overline" in Fall1, Punkt 1 und 2 weglassen? weglassen? --Tja??? 17:11, 17. Nov. 2010 (UTC)

Definition der Verschiebung

...

Eine andere Möglichkeit der Definition?

Es sei \vec{AB} ein Pfeil. Unter der Verschiebung längs des Pfeiles \vec{AB} vresteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, mit folgenden Eigenschaften:
Für das Bild eines Punktes P, benannt mit P' muss gelten:
1. |\ AB | = |\ PP'|
2. \overline{AB} \| \overline{PP'}
3. \vec{AB} und \vec{PP'} haben den selbern Richtungssinn
--Tja??? 17:23, 16. Nov. 2010 (UTC)

Sätze

Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung.

An dieser Stelle wird nur der allgemeinste Fall bewiesen (siehe Skizze), da die Beweise der anderen Fälle laut Herr Gieding immer ähnlich ablaufen.




Es sei \ V eine Verschiebung längs des Pfeiles \overrightarrow{AB} und \ {P,Q} zwei beliebige Punkte der Ebene mit ihren Bildern \ {P',Q'} bei \ V, die voneinander verschieden sind und nicht auf dem Pfeil \overrightarrow{AB} liegen.
Wir haben zu zeigen, dass \overline{PQ} \cong \overline {P'Q'} ist. Es genügt natürlich zu zeigen, dass \overline {PQQ'P'} ein Parallelogramm ist, da in jedem Parllelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.

Beweisschritt Begründung
1) \overline {PP'} \| \overline {QQ'} folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
2) \overline {ABPP'} ist ein Parallelogramm. folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung ("Das Bild des Punktes \ P ist der fehlende Eckpunkt des Parallelogramms \overline {ABPP'} .")
3) \overline {ABQQ'} ist ein Parallelogramm. folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
4) Aus \overline {AB} \cong \overline {PP'} und \overline {AB} \cong \overline {QQ'} folgt \overline {PP'} \cong \overline {QQ'} (2), (3), Transitivität
5) \overline {PQQ'P'} ist ein Parallelogramm. (1), (4)


--Steph85

Satz 2: Jede fixpunktfreie Bewegung, ... , ist eine Verschiebung.

Satzvormulierungen:
Jede fixpunktfreie Bewegung,
bei der die Geraden durch beliebibige Punkt und ihre jeweiligen Bildpunkte parallel zueinander verlaufen,
ist eine Verschiebung.

oder kürzer, aber ungenau:
Jede fixpunktfreie Bewegung, bei de die Parallelität der Bild-Bildpunkt-Geraden gegeben ist,
ist eine Verschiebung.
--Tja??? 18:07, 17. Nov. 2010 (UTC)

oder vielleicht: Jede Bewegung, bei der es (min.)2 verschiedene Fixgeraden gibt, ist eine Verschiebung.

Satz: \ V \overrightarrow{AB} = \ V \overrightarrow{DE} unter der Vorraussetzung \ AB \| \ DE , \overline{AB} = \overline{DE} und \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{DE} haben den gleichen Richtungssinn.

Vorraussetzung:
1.\ AB \| \ DE
2. \overline{AB} = \overline{DE}
3. \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{DE} haben den gleichen Richtungssinn
Behauptung: \ V \overrightarrow{AB} = \ V \overrightarrow{DE}
Beweis:
\ P' ist das Bild von \ P bei der Verschiebung \ V \overrightarrow{AB} . \ PP' \| \ DE , da die Parallelität von Geraden transitiv ist. Es genügt zu zeigen, das \ P'E \| \ PD. Dies gilt, wenn \overline{PP'ED} ein Parallelogramm ist. Dies ist nach Voraussetzung und dem Hilfssatz der Fall. ...
q.e.d.
--Tetraeder 17:36, 18. Nov. 2010 (UTC)


Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck \ ABCD gilt:\ AB \| \ CD und \overline{AB} = \overline{CD}, dann ist \ ABCD ein Parallelogramm.

Voraussetzung: konvexes Viereck \ ABCD, \ AB \| \ CD und \overline{AB} = \overline{CD}
zu zeigen: \ AD \| \ BC

Beweis

Beweisschritt Begründung
1) \overline {AC} \cong \overline {AC} trivial (Reflexivität der Streckenkongruenz)
2) <DCA \cong <BAC Wechselwinkelsatz+Voraussetzung
3) \overline {ACD} = \overline {CAB} SWS: Voraussetzung+(1)+(2)
4) <BCA\cong <DAC (3), Def. kongruente Dreiecke
5) \ AD \| \ BC (4), Umkehrung des Wechselwinkelsatz
- Tja???




==== Alternativer Beweis ====

Wenn wir zeigen, dass die Punkte \ A und \ D den selben Abstand von der Geraden \ BC haben , dann haben wir damit gezeigt, dass gilt: \ AD \| \ BC


Beweis

Beweisschritt Begründung
1) Wir fällen das Lot von \ A und \ D auf die Gerade \ BC
2) \angle \ LBA und \angle \ L'CD, sowie \angle \ BAL und \angle \ CDL' sind jeweil Stufenwinkel der Parallelen \ {AB} und \ {CD} Stufenwinkelsatz
3) \overline {AB} \cong \overline {CD} Voraussetzung
4) Die Dreiecke \overline {ABL} und \overline {DL'C} sind kongruent (2), (3), WSW
5) Die Punkte \ A und \ D haben somit den gleichen Abstand von \ BC. Daraus folgt, zusammen mit der Voraussetzung, dass \overline {ABCD} ein Parallelogramm ist.
- Steph85




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