Verschiebungen 2010: Unterschied zwischen den Versionen
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− | == Satz: | + | oder vielleicht: |
+ | Jede Bewegung, bei der es (min.)2 verschiedene Fixgeraden gibt, ist eine Verschiebung. | ||
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+ | == Satz: <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{AB} =</math> <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{DE} </math>unter der Vorraussetzung <math>\ AB \| \ DE</math> , <math> \overline{AB} = \overline{DE}</math> und <math>\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{DE}</math> haben den gleichen Richtungssinn. == | ||
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+ | '''Vorraussetzung:'''<br /> 1.<math>\ AB \| \ DE</math><br />2. <math> \overline{AB} = \overline{DE}</math><br /> 3. <math>\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{DE}</math> haben den gleichen Richtungssinn<br /> | ||
+ | '''Behauptung:''' | ||
+ | <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{AB} =</math> <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{DE} </math><br /> | ||
+ | '''Beweis:'''<br /> | ||
+ | <math>\ P'</math> ist das Bild von <math>\ P</math> bei der Verschiebung <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{AB} </math>. <math>\ PP' \| \ DE</math> , da die Parallelität von Geraden transitiv ist. Es genügt zu zeigen, das <math>\ P'E \| \ PD</math>. Dies gilt, wenn <math>\overline{PP'ED}</math> ein Parallelogramm ist. Dies ist nach Voraussetzung und dem Hilfssatz der Fall. | ||
+ | ...<br />q.e.d.<br /> | ||
+ | --[[Benutzer:Tetraeder|Tetraeder]] 17:36, 18. Nov. 2010 (UTC) | ||
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=== Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck <math>\ ABCD</math> gilt:<math>\ AB \| \ CD</math> und <math> \overline{AB} = \overline{CD}</math>, dann ist <math>\ ABCD</math> ein Parallelogramm. === | === Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck <math>\ ABCD</math> gilt:<math>\ AB \| \ CD</math> und <math> \overline{AB} = \overline{CD}</math>, dann ist <math>\ ABCD</math> ein Parallelogramm. === | ||
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+ | Voraussetzung: konvexes Viereck <math>\ ABCD</math>, <math>\ AB \| \ CD</math> und <math> \overline{AB} = \overline{CD}</math><br /> | ||
+ | zu zeigen: <math>\ AD \| \ BC </math> <br /> | ||
+ | <ggb_applet width="317" height="356" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> | ||
+ | |||
+ | Beweis | ||
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+ | ! Beweisschritt | ||
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+ | |- | ||
+ | | 1) <math>\overline {AC} \cong \overline {AC}</math> | ||
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+ | <br /><br /> | ||
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+ | '''==== Alternativer Beweis ===='''<br /> | ||
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+ | Wenn wir zeigen, dass die Punkte <math>\ A </math> und <math>\ D </math> den selben Abstand von der Geraden <math>\ BC </math> haben , dann haben wir damit gezeigt, dass gilt: <math>\ AD \| \ BC </math> <br /> | ||
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+ | <br /> | ||
+ | Beweis | ||
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+ | ! Beweisschritt | ||
+ | ! Begründung | ||
+ | |- | ||
+ | | 1) Wir fällen das Lot von <math>\ A</math> und <math>\ D</math> auf die Gerade <math>\ BC</math> | ||
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | |||
+ | | 2) <math>\angle \ LBA </math> und <math>\angle \ L'CD</math>, sowie <math>\angle \ BAL</math> und <math>\angle \ CDL'</math> sind jeweil Stufenwinkel der Parallelen <math> \ {AB}</math> und <math> \ {CD}</math> | ||
+ | | Stufenwinkelsatz | ||
+ | |- | ||
+ | | 3) <math>\overline {AB} \cong \overline {CD}</math> | ||
+ | | Voraussetzung | ||
+ | |- | ||
+ | | 4) Die Dreiecke <math> \overline {ABL}</math> und <math> \overline {DL'C}</math> sind kongruent | ||
+ | | (2), (3), WSW | ||
+ | |- | ||
+ | | 5) Die Punkte <math>\ A</math> und <math>\ D</math> haben somit den gleichen Abstand von <math>\ BC</math>. Daraus folgt, zusammen mit der Voraussetzung, dass <math> \overline {ABCD} </math> ein Parallelogramm ist. | ||
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | |} - Steph85 | ||
+ | <br /><br /> | ||
+ | <br /> |
Aktuelle Version vom 23. November 2010, 12:38 Uhr
Konstruktion des Bildes eines Punkte bei einer Verschiebung
Unter Verwendung der Vektorrechnung (Pfeilklassen)
"Konstruktionsvorschrift":
Konstruktionsbeschreibung
Gegeben sind ein Punkt und sein Bildpunkt , sowie ein Punkt . Gesucht ist sein Bildpunkt bei der Verschiebung an
(1) Für den Fall, dass gilt: sind nicht kollinear.
- 1. Parallele zu durch
- 2. Parallele zu durch
- 3. Der Schnittpunkt der beiden zuvor konstruierten Parallelen ist der gesuchte Punkt
(2) Für den Fall, dass gilt: sind kollinear.
- 1. Konstruiere einen beliebigen Punkt der Ebene der nicht kollinear zu ist.
- 2. Konstruiere den Bildpunkt von bei der Verschiebung an , wie in (1) beschrieben.
- 3. Konstruiere nun den Bildpunkt von bei der Verschiebung an wie in (1) beschrieben. ist nun auch der gesuchte Bildpunkt für die Verschiebung an , da und den gleichen Richtungssinn haben. --Steph85
>Eine gute Konstruktionsanweisung! Nur kann man schreiben: Parallele zu einer Strecke? Oder sollte man nicht lieber die "Overline" in Fall1, Punkt 1 und 2 weglassen? weglassen? --Tja??? 17:11, 17. Nov. 2010 (UTC)
Definition der Verschiebung
...
Eine andere Möglichkeit der Definition?
Es sei ein Pfeil. Unter der Verschiebung längs des Pfeiles vresteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, mit folgenden Eigenschaften:
Für das Bild eines Punktes P, benannt mit P' muss gelten:
1.
2.
3. und haben den selbern Richtungssinn
--Tja??? 17:23, 16. Nov. 2010 (UTC)
Sätze
Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung.
An dieser Stelle wird nur der allgemeinste Fall bewiesen (siehe Skizze), da die Beweise der anderen Fälle laut Herr Gieding immer ähnlich ablaufen.
Es sei eine Verschiebung längs des Pfeiles und zwei beliebige Punkte der Ebene mit ihren Bildern bei , die voneinander verschieden sind und nicht auf dem Pfeil liegen.
Wir haben zu zeigen, dass ist. Es genügt natürlich zu zeigen, dass ein Parallelogramm ist, da in jedem Parllelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.
Beweisschritt | Begründung |
---|---|
1) | folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung |
2) ist ein Parallelogramm. | folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung ("Das Bild des Punktes ist der fehlende Eckpunkt des Parallelogramms .") |
3) ist ein Parallelogramm. | folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung |
4) Aus und folgt | (2), (3), Transitivität |
5) ist ein Parallelogramm. | (1), (4) |
--Steph85
Satz 2: Jede fixpunktfreie Bewegung, ... , ist eine Verschiebung.
Satzvormulierungen:
Jede fixpunktfreie Bewegung,
bei der die Geraden durch beliebibige Punkt und ihre jeweiligen Bildpunkte parallel zueinander verlaufen,
ist eine Verschiebung.
oder kürzer, aber ungenau:
Jede fixpunktfreie Bewegung, bei de die Parallelität der Bild-Bildpunkt-Geraden gegeben ist,
ist eine Verschiebung.
--Tja??? 18:07, 17. Nov. 2010 (UTC)
oder vielleicht: Jede Bewegung, bei der es (min.)2 verschiedene Fixgeraden gibt, ist eine Verschiebung.
Satz: unter der Vorraussetzung , und haben den gleichen Richtungssinn.
Vorraussetzung:
1.
2.
3. haben den gleichen Richtungssinn
Behauptung:
Beweis:
ist das Bild von bei der Verschiebung . , da die Parallelität von Geraden transitiv ist. Es genügt zu zeigen, das . Dies gilt, wenn ein Parallelogramm ist. Dies ist nach Voraussetzung und dem Hilfssatz der Fall.
...
q.e.d.
--Tetraeder 17:36, 18. Nov. 2010 (UTC)
Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck gilt: und , dann ist ein Parallelogramm.
Voraussetzung: konvexes Viereck , und
zu zeigen:
Beweis
Beweisschritt | Begründung |
---|---|
1) | trivial (Reflexivität der Streckenkongruenz) |
2) <DCA <BAC | Wechselwinkelsatz+Voraussetzung |
3) | SWS: Voraussetzung+(1)+(2) |
4) <BCA<DAC | (3), Def. kongruente Dreiecke |
5) | (4), Umkehrung des Wechselwinkelsatz |
==== Alternativer Beweis ====
Wenn wir zeigen, dass die Punkte und den selben Abstand von der Geraden haben , dann haben wir damit gezeigt, dass gilt:
Beweis
Beweisschritt | Begründung |
---|---|
1) Wir fällen das Lot von und auf die Gerade | |
2) und , sowie und sind jeweil Stufenwinkel der Parallelen und | Stufenwinkelsatz |
3) | Voraussetzung |
4) Die Dreiecke und sind kongruent | (2), (3), WSW |
5) Die Punkte und haben somit den gleichen Abstand von . Daraus folgt, zusammen mit der Voraussetzung, dass ein Parallelogramm ist. |