Lösung von Aufg. 14.4 (WS 11/12: Unterschied zwischen den Versionen
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Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z.<br /> | Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z.<br /> | ||
a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel <math>\angle MAB</math>, wenn die Gerade ''g'' zur Tangente am Kreis ''k'' im Punkt ''A'' wird?<br /><br /> | a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel <math>\angle MAB</math>, wenn die Gerade ''g'' zur Tangente am Kreis ''k'' im Punkt ''A'' wird?<br /><br /> | ||
| − | Der Winkel <math>\angle MAB</math> wird zum rechten Winkel, <math>MAB \ \perp \ g</math> --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)<br /><br /> | + | Der Winkel <math>\angle MAB</math> wird zum rechten Winkel, <math>MAB \ \perp \ g</math> --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)<br /> |
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| + | <br />Also genau genommen verschwindet der Winkel <math>\angle MAB</math>, da der Punkt A und B identisch ist. Es müsste also heißen: <math>\angle MAZ \ \perp \ g</math><br /> | ||
| + | Hier muss man nur aufpassen, dass ein Winkel nicht senkrecht auf einer Geraden stehen kann, sondern nur Geraden senkrecht auf Geraden. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:23, 3. Feb. 2012 (CET) | ||
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b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade ''g'' Tangente an einem Kreis ''k'' im Berührpunkt ''A'' ist, dann ...<br /><br /> | b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade ''g'' Tangente an einem Kreis ''k'' im Berührpunkt ''A'' ist, dann ...<br /><br /> | ||
...steht der Radius <math>\overline{MA} </math>senkrecht auf ''g'' --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)<br /><br /> | ...steht der Radius <math>\overline{MA} </math>senkrecht auf ''g'' --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)<br /><br /> | ||
| + | Auch hier wieder der Hinweis: Es müsste eigentlich heißen: "steht die durch den Radius <math>\overline {MA}</math> eindeutig bestimmte Gerade senkrecht auf g. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:26, 3. Feb. 2012 (CET) | ||
c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt.<br /><br /> | c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt.<br /><br /> | ||
Voraussetung: ''g'' Tangente an ''k'', <math>A \in g \ \wedge \ A \in k</math>, <math>\overline{MA}</math> ist Radius<br /> | Voraussetung: ''g'' Tangente an ''k'', <math>A \in g \ \wedge \ A \in k</math>, <math>\overline{MA}</math> ist Radius<br /> | ||
Behauptung: <math>\overline{MA} \ \perp \ g</math><br /> | Behauptung: <math>\overline{MA} \ \perp \ g</math><br /> | ||
Annahme: <math>\overline{MA} \ \not\perp \ g</math><br /> | Annahme: <math>\overline{MA} \ \not\perp \ g</math><br /> | ||
| − | (1) Es existiert ein Lot mit der Eigenschaft <math>\ l \ \perp \ g: {B} \ \wedge \ l \neq \overline{MA}</math> <br /> | + | (1) Es existiert ein Lot mit der Eigenschaft <math>\ l \ \perp \ g: {B} \ \wedge \ l \neq \overline{MA}</math> Hier sollte ergänzt werden, wo der Punkt B liegt<br /> |
(2) Antragen Punkt <math>C</math> auf Strahl <math>\ BA^{-} \in \left| BC \right| = \left| BA \right|</math> <br /> | (2) Antragen Punkt <math>C</math> auf Strahl <math>\ BA^{-} \in \left| BC \right| = \left| BA \right|</math> <br /> | ||
(3) <math>\overline{BMA} \equiv \overline{BMC}</math> nach SWS<br /> | (3) <math>\overline{BMA} \equiv \overline{BMC}</math> nach SWS<br /> | ||
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(6) <math>\left| MC \right|</math> ist ebenfalls Radius nach 4. und 5.<br /> | (6) <math>\left| MC \right|</math> ist ebenfalls Radius nach 4. und 5.<br /> | ||
(7) <math>C \in g \ \wedge \ C \in k</math> nach 6.<br /> | (7) <math>C \in g \ \wedge \ C \in k</math> nach 6.<br /> | ||
| − | + | Widerspruch zur Voraussetung!--[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)<br /> | |
| + | Ich würde hier vielleicht noch ergänzen, dass aus Schritt (7) und der VSS, dass A <math>\in</math> g gilt, g keine Tangente des Kreises k sein kann. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:37, 3. Feb. 2012 (CET) | ||
d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? Beweisen Sie dies.<br /><br /> | d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? Beweisen Sie dies.<br /><br /> | ||
e) Entwickeln Sie ein Tangentenkriterium aus b) und d)<br /> | e) Entwickeln Sie ein Tangentenkriterium aus b) und d)<br /> | ||
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| + | --> Wenn eine Gerade g durch den Berührpunkt A des Kreiss k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist g genau dann Tangente an k, wenn g senkrecht auf MA steht. | ||
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Aktuelle Version vom 3. Februar 2012, 10:37 Uhr
Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z.
a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel 
, wenn die Gerade g zur Tangente am Kreis k im Punkt A wird?
Der Winkel wird zum rechten Winkel, 
--Phhd mat 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)
Also genau genommen verschwindet der Winkel , da der Punkt A und B identisch ist. Es müsste also heißen: 
Hier muss man nur aufpassen, dass ein Winkel nicht senkrecht auf einer Geraden stehen kann, sondern nur Geraden senkrecht auf Geraden. --Tutor Andreas 10:23, 3. Feb. 2012 (CET)
b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ...
...steht der Radius 
senkrecht auf g --Phhd mat 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)
Auch hier wieder der Hinweis: Es müsste eigentlich heißen: "steht die durch den Radius 
eindeutig bestimmte Gerade senkrecht auf g. --Tutor Andreas 10:26, 3. Feb. 2012 (CET)
c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt.
Voraussetung: g Tangente an k, 
, ist Radius
Behauptung: 
Annahme: 
(1) Es existiert ein Lot mit der Eigenschaft 
Hier sollte ergänzt werden, wo der Punkt B liegt
(2) Antragen Punkt 
auf Strahl 
(3) 
nach SWS
(4) 
nach 3. und Dreieckskongruenz
(5) 
ist Radius nach Vorausssetzung
(6) 
ist ebenfalls Radius nach 4. und 5.
(7) 
nach 6.
Widerspruch zur Voraussetung!--Phhd mat 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)
Ich würde hier vielleicht noch ergänzen, dass aus Schritt (7) und der VSS, dass A 
g gilt, g keine Tangente des Kreises k sein kann. --Tutor Andreas 10:37, 3. Feb. 2012 (CET)
d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? Beweisen Sie dies.
e) Entwickeln Sie ein Tangentenkriterium aus b) und d)
--> Wenn eine Gerade g durch den Berührpunkt A des Kreiss k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist g genau dann Tangente an k, wenn g senkrecht auf MA steht.
