Serie 5 (WS 12 13): Unterschied zwischen den Versionen
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (→Aufgabe 5.2) |
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (→Aufgabe 5.7: Helfen Sie Yellow) |
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=weitere Aufgaben zur Inzidenz= | =weitere Aufgaben zur Inzidenz= | ||
„Man muß jederzeit an Stelle von ‚Punkten‘, ‚Geraden‘, ‚Ebenen‘, ‚Tische‘, ‚Stühle‘, ‚Bierseidel‘ sagen | „Man muß jederzeit an Stelle von ‚Punkten‘, ‚Geraden‘, ‚Ebenen‘, ‚Tische‘, ‚Stühle‘, ‚Bierseidel‘ sagen | ||
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==Aufgabe 5.1== | ==Aufgabe 5.1== | ||
Begründen Sie: | Begründen Sie: | ||
− | #Jedes Modell für die Inzidenzaxiome der Ebene beinhaltet wenigstens 3 | + | #Jedes Modell für die Inzidenzaxiome der Ebene beinhaltet wenigstens 3 Punkte. |
− | #Jedes Modell für die Inzidenzaxiome des Raumes beinhaltet wenigstens | + | #Jedes Modell für die Inzidenzaxiome des Raumes beinhaltet wenigstens 4 Punkte. |
<br /> | <br /> | ||
[[Lösung von Aufgabe 5.1_S (WS_12_13)]] | [[Lösung von Aufgabe 5.1_S (WS_12_13)]] | ||
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Wir lassen die Modellpunkte mit den Modellgeraden jetzt wie folgt inzidieren: | Wir lassen die Modellpunkte mit den Modellgeraden jetzt wie folgt inzidieren: | ||
− | * R und G inzidieren mit Mikado | + | * <math>R</math> und <math>G</math> inzidieren mit <math>Mikado</math> |
− | * G und B inzidieren mit Mandarin | + | * <math>G</math> und <math>B</math> inzidieren mit <math>Mandarin</math> |
− | * B und R inzidieren mit Bonzen | + | * <math>B</math> und <math>R</math> inzidieren mit <math>Bonzen</math> |
− | * R und K inzidieren mit Samurai | + | * <math>R</math> und <math>K</math> inzidieren mit <math>Samurai</math> |
− | * G und K inzidieren mit Kuli | + | * <math>G</math> und <math>K</math> inzidieren mit <math>Kuli</math> |
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
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|(b) || Nennen Sie drei verschiedene Gründe, warum dieses Modell kein Modell für die Inzidenzaxiome des Raumes ist. | |(b) || Nennen Sie drei verschiedene Gründe, warum dieses Modell kein Modell für die Inzidenzaxiome des Raumes ist. | ||
|- | |- | ||
− | + | | (c) || Ergänzen Sie das Modell Sie derart, dass die Inzidenzaxiome I.1 bis I.7 erfüllt sind. | |
|- | |- | ||
| (d) || Mit dem von Ihnen ergänzten Modell haben Sie gezeigt, dass das Axiom I.0 unabhängig von den Axiomen I.1 bis I.7 ist. Warum? | | (d) || Mit dem von Ihnen ergänzten Modell haben Sie gezeigt, dass das Axiom I.0 unabhängig von den Axiomen I.1 bis I.7 ist. Warum? | ||
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[[Lösung von Aufgabe 5.2_S (WS_12_13)]] | [[Lösung von Aufgabe 5.2_S (WS_12_13)]] | ||
==Aufgabe 5.3== | ==Aufgabe 5.3== | ||
− | + | {{Definition|1=Zwei Geraden sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die beide Geraden vollständig enthält.}} | |
− | Wenn <math> | + | Beweisen Sie den folgenden Satz: <br /> |
− | + | '''Satz *:'''<br /> | |
+ | ::Wenn zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> genau einen Schnittpunkt haben, so sind sie komplanar. | ||
<br /> | <br /> | ||
[[Lösung von Aufgabe 5.3_S (WS_12_13)]] | [[Lösung von Aufgabe 5.3_S (WS_12_13)]] | ||
− | |||
==Aufgabe 5.4== | ==Aufgabe 5.4== | ||
− | + | Formulieren Sie Kontraposition und die Umkehrung von Satz * aus der Aufgabe 5.3. Äußern Sie sich zum Wahrheitgehalt dieser beiden Implikationen. Begründen Sie Ihre Äußerungen.<br /> | |
− | <br /> | + | |
− | |||
[[Lösung von Aufgabe 5.4_S (WS_12_13)]] | [[Lösung von Aufgabe 5.4_S (WS_12_13)]] | ||
− | |||
− | |||
− | |||
== Aufgabe 5.5 == | == Aufgabe 5.5 == | ||
− | + | Begründen Sie:<br /> | |
+ | Eine Definition des Begriffs der Komplanarität einer Punktmenge <math>M</math> macht nur Sinn, wenn <math>M</math> wenigstens vier Punkte enthält.<br /><br /> | ||
[[Lösung von Aufg. 5.5_S (WS_12_13)]]<br /> | [[Lösung von Aufg. 5.5_S (WS_12_13)]]<br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
+ | |||
+ | == Aufgabe 5.6 == | ||
+ | Axiom I.7 liefert 4 Punkte, die nicht komplanar sind.<br /> | ||
+ | Es seien <math>A, B, C, D</math> diese 4 Punkte.<br /> | ||
+ | Sie dürfen im folgenden ohne Beweis davon ausgehen, dass je 4 nicht komplanare Punkte paarweise verschieden sind.<br /> | ||
+ | Es sei <math>\varepsilon</math> eine Ebene mit <math>A \in \varepsilon \wedge B \in \varepsilon</math>.<br /> | ||
+ | Beweisen Sie:<br /> | ||
+ | ::In <math>\varepsilon</math> existiert ein Punkt <math>P</math> mit <math>P \not= A \wedge P\not= B</math>.<br /><br /> | ||
+ | [[Lösung von Aufg. 5.6_S (WS_12_13)]]<br /> | ||
+ | <br /> | ||
+ | == Aufgabe 5.7: Helfen Sie Yellow== | ||
+ | In Aufgabe 4.3 war die Umkehrung der folgenden Implikation zu bilden: | ||
+ | Satz I: Wenn drei Punkte A, B, C nicht kollinear sind, so sind sie paarweise verschieden. | ||
+ | |||
+ | UserIn Yellow formulierte:<br /> | ||
+ | Wenn A,B,C paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinar<br /> | ||
+ | Die Umkehrung entspricht dem Axiom I.3 und kann somit nicht bewiesen werden. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Was stimmt bei der Lösung von Yellow alles nicht? | ||
+ | |||
+ | [[Lösung von Aufg. 5.7_S (WS_12_13)]]<br /> | ||
+ | <br /> | ||
+ | <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | ||
+ | |} | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | [[Kategorie:Einführung_S]] |
Aktuelle Version vom 24. November 2012, 16:27 Uhr
weitere Aufgaben zur Inzidenz„Man muß jederzeit an Stelle von ‚Punkten‘, ‚Geraden‘, ‚Ebenen‘, ‚Tische‘, ‚Stühle‘, ‚Bierseidel‘ sagen
können.“ Aufgabe 5.1Begründen Sie:
Aufgabe 5.2Gegeben seien eine rote Kugel aus Knete (
Die Inzidenzrelation interpretieren wir wie folgt: Ein Modellpunkt inziert mit einer Modellgeraden, wenn der Modellpunkt auf die Modellgerade gesteckt wurde.
Lösung von Aufgabe 5.2_S (WS_12_13) Aufgabe 5.3Definition Zwei Geraden sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die beide Geraden vollständig enthält. Beweisen Sie den folgenden Satz:
Aufgabe 5.4Formulieren Sie Kontraposition und die Umkehrung von Satz * aus der Aufgabe 5.3. Äußern Sie sich zum Wahrheitgehalt dieser beiden Implikationen. Begründen Sie Ihre Äußerungen. Lösung von Aufgabe 5.4_S (WS_12_13) Aufgabe 5.5Begründen Sie: Aufgabe 5.6Axiom I.7 liefert 4 Punkte, die nicht komplanar sind.
Lösung von Aufg. 5.6_S (WS_12_13) Aufgabe 5.7: Helfen Sie YellowIn Aufgabe 4.3 war die Umkehrung der folgenden Implikation zu bilden: Satz I: Wenn drei Punkte A, B, C nicht kollinear sind, so sind sie paarweise verschieden. UserIn Yellow formulierte:
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