Serie 11 (WS 12 13): Unterschied zwischen den Versionen
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[[Lösung Aufgabe 11.01 WS_12_13]] | [[Lösung Aufgabe 11.01 WS_12_13]] | ||
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=Aufgabe 11.02= | =Aufgabe 11.02= | ||
Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. <br /> | Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. <br /> | ||
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Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d. | Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d. | ||
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+ | [[Lösung Aufgabe 11.02 WS_12_13]] | ||
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=Aufgabe 11.03= | =Aufgabe 11.03= | ||
Es sei <math>\alpha</math> ein Winkel mit den Schenkeln <math>g</math> und <math>h</math> und dem Scheitel <math>S</math>. Ferner sei <math>w</math> die Winkelhalbierende von <math>\alpha</math>, also ein Strahl im Inneren von <math>\alpha</math>, der als Anfangspunkt S hat und <math>\alpha</math> in zwei kongruente Teilwinkel <math>\alpha_1</math> und <math>\alpha_2</math> teilt. Auf <math>w</math> sei ein beliebiger von <math>S</math> verschiedener Punkt <math>P</math> gegeben. <math>F_g</math> sei der Fußpunkt des Lotes von <math>P</math> auf <math>h</math>:<br /><br /> | Es sei <math>\alpha</math> ein Winkel mit den Schenkeln <math>g</math> und <math>h</math> und dem Scheitel <math>S</math>. Ferner sei <math>w</math> die Winkelhalbierende von <math>\alpha</math>, also ein Strahl im Inneren von <math>\alpha</math>, der als Anfangspunkt S hat und <math>\alpha</math> in zwei kongruente Teilwinkel <math>\alpha_1</math> und <math>\alpha_2</math> teilt. Auf <math>w</math> sei ein beliebiger von <math>S</math> verschiedener Punkt <math>P</math> gegeben. <math>F_g</math> sei der Fußpunkt des Lotes von <math>P</math> auf <math>h</math>:<br /><br /> | ||
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=Aufgabe 11.04= | =Aufgabe 11.04= | ||
Definieren Sie: Abstand eines Punktes <math>P</math> zu einer Geraden <math>g</math>: | Definieren Sie: Abstand eines Punktes <math>P</math> zu einer Geraden <math>g</math>: | ||
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+ | [[Lösung Aufgabe 11.04 WS_12_13]] | ||
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=Aufgabe 11.05= | =Aufgabe 11.05= | ||
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Wenn ein Punkt P zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\alpha</math> gehört, dann hat er zu den Schenkeln von <math>\alpha</math> .......<br /><br /> | Wenn ein Punkt P zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\alpha</math> gehört, dann hat er zu den Schenkeln von <math>\alpha</math> .......<br /><br /> | ||
<ggb_applet width="558" height="463" version="4.2" 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+ | |||
+ | |||
+ | [[Lösung Aufgabe 11.05 WS_12_13]] | ||
=Aufgabe 11.06= | =Aufgabe 11.06= | ||
Es sei <math>P</math> ein Punkt aus dem Inneren des Winkels <math>\alpha</math>. Der Scheitel von <math>\alpha</math> sei der Punkt <math>S</math>. P möge zu den Schenkeln von <math>\alpha</math> jeweils denselben Abstand haben. Beweisen Sie: <math>SP^+</math> ist die Winkelhalbierende von <math>\alpha</math>. Tip: Ssw hilft. | Es sei <math>P</math> ein Punkt aus dem Inneren des Winkels <math>\alpha</math>. Der Scheitel von <math>\alpha</math> sei der Punkt <math>S</math>. P möge zu den Schenkeln von <math>\alpha</math> jeweils denselben Abstand haben. Beweisen Sie: <math>SP^+</math> ist die Winkelhalbierende von <math>\alpha</math>. Tip: Ssw hilft. | ||
+ | |||
+ | [[Lösung Aufgabe 11.06 WS_12_13]] | ||
=Aufgabe 11.07= | =Aufgabe 11.07= | ||
Zeile 73: | Zeile 86: | ||
Ein beliebiger Punkt <math>P</math> aus dem Inneren eines Winkels <math>\alpha</math> ist genau dann ein Punkt der Winkelhalbierenden von <math>\alpha</math>, wenn ....... | Ein beliebiger Punkt <math>P</math> aus dem Inneren eines Winkels <math>\alpha</math> ist genau dann ein Punkt der Winkelhalbierenden von <math>\alpha</math>, wenn ....... | ||
+ | |||
+ | [[Lösung Aufgabe 11.07 WS_12_13]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | =Aufgabe 11.08= | ||
+ | Beweisen Sie die folgenden Korollare aus dem ´schwachen Außenwinkelsatz: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz == | ||
+ | ::In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel. | ||
+ | |||
+ | ==Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz == | ||
+ | ::Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180. | ||
+ | |||
+ | ==Korollar 3 zum schwachen Außenwinkelsatz== | ||
+ | ::Sollte ein Dreieck rechtwinklig sein, dann ist der rechte Winkel der größte aller Innenwinkel dieses Dreiecks. | ||
+ | |||
+ | [[Lösung Aufgabe 11.08 WS_12_13]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =Aufgabe 11.09= | ||
+ | Beweisen Sie: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) | ||
+ | :: Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Lösung Aufgabe 11.09 WS_12_13]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =Aufgabe 11.10= | ||
+ | Wir beziehen uns auf den Beweis des schwachen Außenwinkelsatzes aus der Vorlesung vom 18. Januar 2013.<br /><br /> | ||
+ | Der Punkt P sei in der beschriebenen Art und Weise konstruiert. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Es blieb zu zeigen, dass <math>P</math> im Inneren von <math>\beta'</math> liegt. Was das bedeutet ist klar: | ||
+ | |||
+ | # <math>P \in AB,C^-</math> | ||
+ | # <math>P \in BC,A^+</math> | ||
+ | |||
+ | Teil 1 war einfach, wir haben <math>P</math> ja schließlich so konstruiert. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Teil 2 hätten wir auch dann gezeigt, wenn wir nachweisen, dass <math>P</math> im Inneren von des Winkels <math>\angle ACB</math> liegt. Das Innere von <math>\angle ACB</math> ist schließlich nichts anderes als die Schnittmenge der beiden Halbebene <math>AC,B^+</math> und <math>BC.A^+</math>. Von diesen beiden Halbebenen interessiert uns eigentlich nur <math>BC.A^+</math>. Aber gut, wenn <math>P</math> im Inneren von <math>\angle ACB</math> liegen würde, dann würde <math>P</math> natürlich auch in <math>BC,A^+</math> liegen. | ||
+ | |||
+ | Beweisen unter Verwendung der [[Lemmata zu Winkeln]], dass <math>P</math> im Inneren von des Winkels <math>\angle ACB</math> liegt. | ||
+ | |||
+ | [[Lösung Aufgabe 11.10 WS_12_13]] |
Aktuelle Version vom 23. Januar 2013, 11:55 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Aufgabe 11.01
Formulieren Sie die Umkehrung des Basiswinkelsatzes.
Aufgabe 11.02
Es seien drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel und seien kongruent zueinander.
Behauptung:
Ergänzen Sie den folgenden Beweis
(H) Hilfskonstruktion:
sei die Mittelsenkrechte der Strecke .
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann:
.................................................
Was wäre wenn
Wenn die Mittelsenkrechte durch gehen würde, wären die Strecken und kongruent zueinander.
Begründung hierfür:
..................................................
Was wäre wenn nicht
Annahme:
Nr. | Beweischritt | Begründung |
---|---|---|
(1) | schneidet o.B.d.A. in einem Punkt, den wir nennen wollen | ... |
(2) | ... | |
(3) | ... | |
(4) | ... | |
(5) | ... |
Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:
Die beiden Winkel und sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe.
Weil sie auch den Schenkel gemeinsam haben und und in derselben Halbebene bzgl. liegen,
müssen die die Schenkel und nach dem ... identisch sein.
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen und und weil
der Schnittpunkt von mit und der Schnittpunkt von mit ist, sind ..... identisch.
Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte durch den Punkt . Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall gilt. q.e.d.
Aufgabe 11.03
Es sei ein Winkel mit den Schenkeln und und dem Scheitel . Ferner sei die Winkelhalbierende von , also ein Strahl im Inneren von , der als Anfangspunkt S hat und in zwei kongruente Teilwinkel und teilt. Auf sei ein beliebiger von verschiedener Punkt gegeben. sei der Fußpunkt des Lotes von auf :
Wir konstruieren jetzt auf dem Schenkel den Punkt , indem wir auf den Abstand abtragen:
Beweisen Sie: ist der Fußpunkt des Lotes von auf .
Aufgabe 11.04
Definieren Sie: Abstand eines Punktes zu einer Geraden :
Aufgabe 11.05
Ergänzen Sie die folgende Implikation:
Wenn ein Punkt P zur Winkelhalbierenden des Winkels gehört, dann hat er zu den Schenkeln von .......
Aufgabe 11.06
Es sei ein Punkt aus dem Inneren des Winkels . Der Scheitel von sei der Punkt . P möge zu den Schenkeln von jeweils denselben Abstand haben. Beweisen Sie: ist die Winkelhalbierende von . Tip: Ssw hilft.
Aufgabe 11.07
Die Implikationen aus 11.05 und 11.06 lassen sich zu einer Äquivalenz zusammenfassen:
Ein beliebiger Punkt aus dem Inneren eines Winkels ist genau dann ein Punkt der Winkelhalbierenden von , wenn .......
Aufgabe 11.08
Beweisen Sie die folgenden Korollare aus dem ´schwachen Außenwinkelsatz:
Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz
- In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.
Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz
- Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.
Korollar 3 zum schwachen Außenwinkelsatz
- Sollte ein Dreieck rechtwinklig sein, dann ist der rechte Winkel der größte aller Innenwinkel dieses Dreiecks.
Aufgabe 11.09
Beweisen Sie: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)
- Zu jedem Punkt außerhalb einer Geraden gibt es genau ein Lot von auf .
Aufgabe 11.10
Wir beziehen uns auf den Beweis des schwachen Außenwinkelsatzes aus der Vorlesung vom 18. Januar 2013.
Der Punkt P sei in der beschriebenen Art und Weise konstruiert.
Es blieb zu zeigen, dass im Inneren von liegt. Was das bedeutet ist klar:
Teil 1 war einfach, wir haben ja schließlich so konstruiert.
Teil 2 hätten wir auch dann gezeigt, wenn wir nachweisen, dass im Inneren von des Winkels liegt. Das Innere von ist schließlich nichts anderes als die Schnittmenge der beiden Halbebene und . Von diesen beiden Halbebenen interessiert uns eigentlich nur . Aber gut, wenn im Inneren von liegen würde, dann würde natürlich auch in liegen.
Beweisen unter Verwendung der Lemmata zu Winkeln, dass im Inneren von des Winkels liegt.