Übung Aufgaben 5 (WS 13/14): Unterschied zwischen den Versionen

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a) Geben Sie die Menge <math>M</math> aller konvexer Drachenvierecke an.<br />
 
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b) Bilden Sie das kartesische Produkt der Menge <math>M \times M</math>.<br />
 
b) Bilden Sie das kartesische Produkt der Menge <math>M \times M</math>.<br />
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c) Wir definineren eine Relation <math>R</math> mit <math>R:=A\subset B</math>. Bestimmen Sie die Relation <math>R</math> auf <math>M \times M</math>.<br />
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c) Wir definineren eine Relation <math>R</math> mit <math>R:=A\subseteq B</math>. Bestimmen Sie die Relation <math>R</math> auf <math>M \times M</math>.<br />
 
d) Untersuchen Sie die Relation <math>R</math> auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv).<br />
 
d) Untersuchen Sie die Relation <math>R</math> auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv).<br />
 
[[Lösung von Aufgabe 5.1_P (WS_13/14)]]
 
[[Lösung von Aufgabe 5.1_P (WS_13/14)]]

Aktuelle Version vom 7. Januar 2014, 18:37 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 5.1

a) Geben Sie die Menge M aller konvexer Drachenvierecke an.
b) Bilden Sie das kartesische Produkt der Menge M \times M.
c) Wir definineren eine Relation R mit R:=A\subseteq B. Bestimmen Sie die Relation R auf M \times M.
d) Untersuchen Sie die Relation R auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv).
Lösung von Aufgabe 5.1_P (WS_13/14)

Aufgabe 5.2

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt?

  • Parallelität von Geraden der Ebene
  • Kongruenz geometrischer Figuren
  • Teilbarkeit in \mathbb{N}
  • Kleinerrelation in \mathbb{R}
  • Größer-Gleich-Relation in \mathbb{R}
  • Ungleichheit in \mathbb{R}

Lösung von Aufgabe 5.2_P (WS_13/14)

Aufgabe 5.3

Untersuchen Sie folgende Relation S auf ihre Eigenschaften:
\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace
Lösung von Aufgabe 5.3_P (WS_13/14)

Aufgabe 5.4

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation \ \Theta (\ \Theta ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge \ E \setminus g (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige \ A,B \in E \setminus g gilt: \ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace.
a) Beschreiben Sie die Relation \ \Theta verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass \ \Theta eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation \ \Theta bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.
Lösung von Aufgabe 5.4_P (WS_13/14)

Aufgabe 5.5

Wir betrachten die Gerade g und auf dieser Geraden die Relation Punkt A liegt links von Punkt B ohne exakte Definition in intuitiver Form. Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf diese Relation zu?

  • Für jeden Punkt A von g gilt: A liegt links von sich selbst.
  • Für je zwei Punkte A und B der Geraden g gilt: Wenn A links von B liegt, dann liegt B auch links von A.
  • Für je drei Punkte A, B und C der Geraden g gilt: Wenn A links von B und B links von C liegt, dann liegt A auch links von C.
  • Für alle Punkte der Geraden g gilt: Es existiert kein Punkt, der links neben sich selbst liegt.
  • Für je zwei Punkte A und B der Geraden g gilt: entweder liegt A links von B oder B liegt links von A oder die beiden Punkte A und B sind identisch.

Lösung von Aufgabe 5.5_P (WS_13/14)

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