Serie 5 (WS 12 13): Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 24. November 2012, 15:33 Uhr
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weitere Aufgaben zur Inzidenz
„Man muß jederzeit an Stelle von ‚Punkten‘, ‚Geraden‘, ‚Ebenen‘, ‚Tische‘, ‚Stühle‘, ‚Bierseidel‘ sagen
können.“
David Hilbert (1862-1943)
Aufgabe 5.1
Begründen Sie:
- Jedes Modell für die Inzidenzaxiome der Ebene beinhaltet wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte.
- Jedes Modell für die Inzidenzaxiome des Raumes beinhaltet wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte.
Lösung von Aufgabe 5.1_S (WS_12_13)
Aufgabe 5.2
Gegeben seien eine rote Kugel aus Knete (), eine blaue Kugel aus Knete (), eine grüne Kugel aus Knete () und eine schwarze Kugel aus Knete (). Aus einem Mikadospiel wurde jeweils genau ein Repräsentant der folgenden Stäbchenart entnommen: Mikado, Mandarin, Bonzen und Samurai.
Wir betrachten das folgende Modell für die Inzidenz:
- Menge aller Punkte
- Menge aller Geraden
Die Inzidenzrelation interpretieren wir wie folgt: Ein Modellpunkt inziert mit einer Modellgeraden, wenn der Modellpunkt auf die Modellgerade gesteckt wurde.
Wir lassen die Modellpunkte mit den Modellgeraden jetzt wie folgt inzidieren:
- und inzidieren mit
- und inzidieren mit
- und inzidieren mit
- und inzidieren mit
- und inzidieren mit
(a) | Fertigen Sie eine Skizze für dieses Modell an bzw. stellen Sie ein Foto von einem real gebauten Modell hier ein. |
(b) | Nennen Sie drei verschiedene Gründe, warum dieses Modell kein Modell für die Inzidenzaxiome des Raumes ist. |
(c) | Ergänzen Sie das Modell Sie derart, dass die Inzidenzaxiome I.1 bis I.7 erfüllt sind. |
(d) | Mit dem von Ihnen ergänzten Modell haben Sie gezeigt, dass das Axiom I.0 unabhängig von den Axiomen I.1 bis I.7 ist. Warum? |
(e) | Beweisen Sie: Wählt man zu unseren Knetekugeln als Modellgeraden Stäbchen eines originalen Mikadospiels derart, dass sich alle Geraden paarweise unterscheiden, so kann man kein Modell für die Inzidenzaxiome des Raumes bauen. |
Lösung von Aufgabe 5.2_S (WS_12_13)
Aufgabe 5.3
Definition
Zwei Geraden sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die beide Geraden vollständig enthält.
Beweisen Sie den folgenden Satz:
Satz:
- Wenn zwei Geraden g und h genau einen Schnittpunkt haben, so sind sie komplanar.
Lösung von Aufgabe 5.3_S (WS_12_13)
Aufgabe 5.4
Beweisen Sie: Zu jeder Strecke existiert genau eine Strecke auf mit und
Lösung von Aufgabe 5.4_S (WS_12_13)
Weitere Aufgabe zur Inzidenz
Aufgabe 5.5
Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4).
Lösung von Aufg. 5.5_S (WS_12_13)