Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 2. Juli 2010, 17:30 Uhr

Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung) entstehen. Bitte ergänzen Sie!

Inhaltsverzeichnis

1 Grundbegriffe (undefinierte Begriffe)
2 Begriffsklärungen
- 2.1 Klasseneinteilung
- 2.2 Relationen
3 Axiome
4 Definitionen
5 Sätze

Grundbegriffe (undefinierte Begriffe)

Punkt
Gerade
Ebene

Begriffsklärungen

disjunkt - elementfremd, nicht gleich
identitiv - antisymmetrisch, gleich
(z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung
(z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen
(z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste
Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch
auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)

"bitte überprüft das mal jemand ;-)"

Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen.
Beispiel: Definition:(disjunkt)
Zwei Mengen $\ A$ und $\ B$ sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.

Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:

Nichtfolgerbarkeit einer Aussage $\ a$ aus einer Menge $\ A$ von Axiomen

Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage $\ a$ aus einer Menge $\ A$ von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von $\ a$ aus $\ A$ scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für $\ A$ . In jedem Modell für $\ A$ müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus $\ A$ abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für $\ A$ finden, in dem $\ a$ nicht gilt ...

Modell für eine Menge von Axiomen

...

*m.g.* 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)

Klasseneinteilung

Es sei $M$ eine Menge und $K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\}$ eine Menge von Teilmengen von $M$ .

$K$ ist eine Klasseneinteilung von $M$ , wenn gilt:

notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge $M$ .

Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

Relationen

Definition: (n-stellige Relation)

Es seien $M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n$ Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus $M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n$ ist eine $\ n-$ stellige Relation.

Definition: (Äquivalenzrelation)

Eine Relation $\ R$ in einer Menge $\ M$ heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Axiome

Inzidenzaxiome:

Axiom I/0

Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

Axiom I/1(Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

Axiom I/2

Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

Axiom I/3

Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

Axiom I/6

Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

Axiom I/7

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Abstandsaxiome:

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $\ d$ mit $d=0:\Longleftrightarrow A=B$ .

Axiom II.2:

Für zwei beliebige Punkte $\ A$ und $\ B$ gilt $\left| AB \right| = \left| BA \right|$ .

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Falls $\operatorname{koll} \left( ABC \right)$ , dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind $\ A$ , $\ B$ und $\ C$ kollinear.

Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)

Zu jeder nicht negativen reelen Zahl $\ d$ gibt es auf jedem Strahl $\ p$ genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von $\ p$ den Abstand $\ d$ hat.

Axiom III.2: Das Axiom von Pasch

Gegeben sei ein Dreieck $\overline{ABC}$ . Ferner sei $\ g$ eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte $\ A, B, C$ geht. Wenn $\ g$ eine der drei Seiten des Dreiecks $\overline{ABC}$ schneidet, dann schneidet $\ g$ genau eine weitere Seite des Dreiecks $\overline{ABC}$ .

Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel $\ \alpha$ gibt es genau eine reelle Zahl $\ \omega$ zwischen 0 und 180.

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei $\ g \equiv SA$ eine Gerade in der Ebene $\ \Epsilon$ . Zu jeder reellen Zahl $\ \omega$ mit $\ 0 < \omega < 180$ gibt es in jeder der beiden durch $\ g$ bestimmten Halbebenen der Ebene $\ \Epsilon$ genau einen Strahl $\ SB^+$ mit $\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|$

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Axiom IV.4: (Supplementaxiom)

Nebenwinkel sind supplementär.

Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS)

Wenn für zwei Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ die folgenden 3 Kongruenzen

$\overline{AB} \cong \overline{DE}$
$\overline{AC} \cong \overline{DF}$
$\angle CAB \cong \angle FDE$

gelten,

dann sind die beiden Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ kongruent zueinander.

Definitionen

Definition I/2: (kollinear)

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise: koll(A, B, C, ...) Sollten die Punkte A, B, C einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(A, B, C)

Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)

Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)

Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Definition I/5: (Raum)

Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Definition I/6: (komplanar)

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

Definition I/7: (komplanar für Geraden)

Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

Definition I/8: (Geradenparallelität)

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g||h.

Definition I/9: (windschief )

Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

Definition I/10: (parallel für Ebenen)

Zwei Ebene E₁ und E₂ sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $\ A$ und $\ B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $\ A$ und $\ B$ zugeordnet werden kann.
Schreibweise: $d = \left| AB \right|$ .

Definition II.2: (Zwischenrelation)

Schreibweise: $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die $\ A$ und $\ B$ sowie alle Punkte, die zwischen $\ A$ und $\ B$ liegen, enthält, heißt Strecke $\overline{AB}$ . Stimmt das? --Sternchen 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)

Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Der Abstand $\vert AB \vert$ heißt Länge der Strecke $\overline{AB}$ . OK? --Sternchen 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)

Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Lösung_von_Aufgabe_6.5

Lösung_von_Aufgabe_6.6

Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

Wenn ein Punkt $\ M$ der Strecke $\overline{AB}$ zu den Endpunkten $\ A$ und $\ B$ jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ .

Definition IV.1: (offene Halbebene)

Es sei $\ \Epsilon$ eine Ebene in der die Gerade $\ g$ liegen möge. Ferner sei $\ Q$ ein Punkt der Ebene $\ \Epsilon$ , der nicht zur Geraden $\ g$ gehört.
Unter den offenen Halbebenen $\ gQ^{+}$ und $\ gQ^{-}$ bezüglich der Trägergeraden $\ g$ versteht man die folgenden Punktmengen:

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

muss es nicht heißen: $\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$ \ g

da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder? --Frühling 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)

Definition IV.2: (Halbebene)

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

Sätze

Satz I.1

Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)

Es seien g und h zwei Geraden.

Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.

Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)

Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

Satz I.5:

Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

Satz I.6:

Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.7:

Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

Satz II.1

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{Zw} \left( C, B, A \right)$ .

Satz II.2:

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ .

Satz II.3

Es sei $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ mit $\ A, B, C$ sind paarweise verschieden.
Dann gilt $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( A, C, B \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( B, A, C \right)$ .

Satz II.4

Es sei $\ O$ ein Punkt einer Geraden $\ g$ .
Die Teilmengen $\ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}$ , $\left\{ O \right\}$ und $\ OA^- \setminus \left\{ O \right\}$ bilden eine Klasseneinteilung der Geraden $\ g$ .

Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)

Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

Satz IV.1: (Repräsentantenunabhängigkeit)

Wenn $\ Q_2$ ein Punkt der Halbebene $\ {gQ_1}^{+}$ ist, dann gilt $\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}$ und $\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}$ .

Satz IV.2

Halbebenen sind konvexe Punktmengen

Satz IV.3

Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

Satz V.1

Das Innere eines Winkels ist konvex.

Satz V.2

Wenn der Punkt $\ P$ im Inneren des Winkels $\ \angle ASB$ und nicht auf einem der Schenkel des Winkels $\ \angle ASB$ liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel $\ \angle ASP$ und $\ \angle PSB$ jeweils kleiner als die Größe des Winkels $\ \angle ASB$ .

Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln)

Es gibt rechte Winkel.

Satz V.4 :

Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

Satz V.5 : ( Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt)

Gegeben seien ein Punkt P auf einer Geraden g in einer Ebene E. Es gibt in E genau eine Gerade, die durch P geht und senkrecht auf g steht.

Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten)

Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

Satz VI. $1 \frac{1}{2}$

Es sei $\ SW^+$ die Winkelhalbierende des Winkels $\angle ASB$ . Dann gilt $| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |$ .

Satz VII.1:

Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

Satz VII.3:

Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW)

Wenn für zwei Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ die folgenden 3 Kongruenzen

$\overline{AB} \cong \overline{DE}$
$\angle CAB \cong \angle FDE$
$\angle ABC \cong \angle DEF$

gelten,

dann sind die beiden Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ kongruent zueinander.

Satz VII.5: Basiswinkelsatz

In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

Lemma 1

Die Winkelhalbierende $\ SW^+$ eines Winkels $\ \angle ASB$ schneidet die Strecke $\overline{AB}$ in genau einem Punkt $\ P$ .

Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)

Eine Menge $\ M$ von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke $\ \overline{AB}$ , wenn für jeden Punkt $\ P \in\ M$ gilt: $\overline{AP} \cong \overline{BP}$ .

Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ gehört.)

Wenn ein Punkt $\ P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ .

Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ gehört)

Wenn ein Punkt $\ P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ ein und denselben Abstand.

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 ==== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) ====
 : Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.
+==== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> ====
+:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.
+==== Satz VII.1:  ====
+:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.
+==== Satz VII.3:  ====
+:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.
+==== Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW) ====
+::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden  3 Kongruenzen
+:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
+:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
+:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
+::gelten,<br />
+:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math>  kongruent zueinander.
+==== Satz VII.5: Basiswinkelsatz ====
+::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
+==== Lemma 1====
+::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.
+==== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) ====
+::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.
+==== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) ====
+::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.
+==== Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)====
+::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 2. Juli 2010, 17:30 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Grundbegriffe (undefinierte Begriffe)

Begriffsklärungen

Klasseneinteilung

Relationen

Axiome

Axiom I/0

Axiom I/1(Axiom von der Geraden)

Axiom I/2

Axiom I/3

Axiom I/4

Axiom I/5

Axiom I/6

Axiom I/7

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Axiom II.2:

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)

Axiom III.2: Das Axiom von Pasch

Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Axiom IV.4: (Supplementaxiom)

Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS)

Definitionen

Definition I/2: (kollinear)

Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)

Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)

Definition I/5: (Raum)

Definition I/6: (komplanar)

Definition I/7: (komplanar für Geraden)

Definition I/8: (Geradenparallelität)

Definition I/9: (windschief )

Definition I/10: (parallel für Ebenen)

Definition II.1: (Abstand)

Definition II.2: (Zwischenrelation)

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

Definition IV.1: (offene Halbebene)

Definition IV.2: (Halbebene)

Sätze

Satz I.1

Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)

Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)

Satz I.5:

Satz I.6:

Satz I.7:

Satz II.1

Satz II.2:

Satz II.3

Satz II.4

Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)

Satz IV.1: (Repräsentantenunabhängigkeit)

Satz IV.2

Satz IV.3

Satz V.1

Satz V.2

Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln)

Satz V.4 :

Satz V.5 : ( Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt)

Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten)

Satz VI.

Satz VII.1:

Satz VII.3:

Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW)

Satz VII.5: Basiswinkelsatz

Lemma 1

Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)

Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von gehört.)

Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von gehört)

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Satz VI. $1 \frac{1}{2}$

Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ gehört.)

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