Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11): Unterschied zwischen den Versionen
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| 1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden || Vor. | | 1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden || Vor. | ||
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| − | | 2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt (welche Gerade ist hier gemeint?) || Axiom I/0 | + | | 2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt (welche Gerade ist hier gemeint?) die Gerade a || Axiom I/0 |
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| 3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist || 2), Parallelenaxiom | | 3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist || 2), Parallelenaxiom | ||
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| (5) || B ε c || Festlegung, Schnittpunkt b, c | | (5) || B ε c || Festlegung, Schnittpunkt b, c | ||
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| − | | (6) || b nicht parallel zu c || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ b \| c </math> | + | | (6) || b nicht parallel zu c || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ b \| c </math> (du schreibst bei z.z., dass b die Gerade c schneidet. In diesem Beweisschritt erwähnst du, dass b nicht parallel zu c sein soll --> somit schneiden sie sich doch wieder und du hast keinen Widerspruch. Oder?)--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST) |
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| − | + | So wie ich das sehe, hast du die Aufgabe nicht erfüllt. Der Beweis soll durch Widerspruch geführt werden. D.h. du benötigst erst die Vor. dann die Behauptung und dazu die Annahme. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST) | |
somit wäre aus meiner sicht bewiesen, dass a auch parallel zu c ist. Falls dieser Beweis so stimmt: | somit wäre aus meiner sicht bewiesen, dass a auch parallel zu c ist. Falls dieser Beweis so stimmt: | ||
Wie gehe ich mit folgenden Punkten um: | Wie gehe ich mit folgenden Punkten um: | ||
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| Das hab ich geschrieben || das gefällt mir daran überhaupt nicht || so wäre es richtig | | Das hab ich geschrieben || das gefällt mir daran überhaupt nicht || so wäre es richtig | ||
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| − | | zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c || das kann irgendwie nicht sein, weil das möchte ich eigentlich gar nicht zeigen. ich möchte vielmehr zeigen, dass a grad nicht parallel zu c ist, aber das ist ja meine Behauptung - irgendwie doppelt gemoppelt, oder? außerdem habe ich gar nicht gezeigt, dass b c schneidet || | + | | zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c || das kann irgendwie nicht sein, weil das möchte ich eigentlich gar nicht zeigen. ich möchte vielmehr zeigen, dass a grad nicht parallel zu c ist, aber das ist ja meine Behauptung - irgendwie doppelt gemoppelt, oder? außerdem habe ich gar nicht gezeigt, dass b c schneidet (du solltest evtl vorab schreiben, dass sich 2 Geraden schneiden und dadurch ein Schnittpunkt entsteht. Eine Gerade ist in einem Axiom festgelegt, dass sie eine Menge von Punkten darstellt.) --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)|| |
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| "Festlegung, Schnittpunkt b, c" in Beweisschritt 4 und 5 || ich glaube, dass man das irgendwie anders schreiben sollte - das scheint mir aber wenig professionell || | | "Festlegung, Schnittpunkt b, c" in Beweisschritt 4 und 5 || ich glaube, dass man das irgendwie anders schreiben sollte - das scheint mir aber wenig professionell || | ||
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| (6) || a nicht parallel zu b || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ a \| b </math> | | (6) || a nicht parallel zu b || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ a \| b </math> | ||
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| − | <br /><br /> --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:27, 7. Mai 2011 (CEST) | + | <br /><br /> --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:27, 7. Mai 2011 (CEST)<br /> Dein zweite Variante ist m.E. überflüssig. Du führst den Beweis praktisch 2 Mal. Du kannst auch schreiben oBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)<br /> |
<br />b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 15:30, 5. Mai 2011 (CEST) | <br />b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 15:30, 5. Mai 2011 (CEST) | ||
Diese Eigenschaft, dass '''wenn a zu b und b zu c in Relation steht dann auch a zu c in Relation steht'''nennt man '''Transitivität'''.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 19:36, 5. Mai 2011 (CEST) | Diese Eigenschaft, dass '''wenn a zu b und b zu c in Relation steht dann auch a zu c in Relation steht'''nennt man '''Transitivität'''.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 19:36, 5. Mai 2011 (CEST) | ||
Version vom 8. Mai 2011, 19:15 Uhr
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: 
.
b) Welche Eigenschaft der Relation 
auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?
Ich mache mal einen Anfang:
Vor.: a, b und c sind drei paarweise versch. Geraden
Beh.: .
Annahme: 
a nicht parallel zu c
| Beweisschritt | Begründung |
| 1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden | Vor. |
| 2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt (welche Gerade ist hier gemeint?) die Gerade a | Axiom I/0 |
| 3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist | 2), Parallelenaxiom |
| 4) eine weitere Gerade geht durch A und ist nicht parallel zu a (hm... ich verstehe die Beweisführung bzw. dieses Argument an dieser Stelle nicht und warum ist das ein Widerspruch zur Annahme? Vllt. wäre eine Skizze an dieser Stelle nicht schlecht.)--Tutor Andreas 13:42, 6. Mai 2011 (CEST)Und wie füge ich eine Skizze ein? Wie füge ich die ganzen mathematischen Zeichen ein? Ich habe nur von oben kopiert. --Flo 21 19:55, 8. Mai 2011 (CEST) | Def. Schnittpkt von Geraden |
| Widerspruch zur Vor. |
Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, 
, 
Behauptung: a ist nicht parralel zu c
zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c
| Nummer | Beweisschritt | Begründung |
| (1) | a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden | Vor. |
| (2) | |
Vor. |
| (3) | |
Vor. |
| (4) | B ε b | Festlegung, Schnittpunkt b, c |
| (5) | B ε c | Festlegung, Schnittpunkt b, c |
| (6) | b nicht parallel zu c | Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass (du schreibst bei z.z., dass b die Gerade c schneidet. In diesem Beweisschritt erwähnst du, dass b nicht parallel zu c sein soll --> somit schneiden sie sich doch wieder und du hast keinen Widerspruch. Oder?)--Flo 21 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
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So wie ich das sehe, hast du die Aufgabe nicht erfüllt. Der Beweis soll durch Widerspruch geführt werden. D.h. du benötigst erst die Vor. dann die Behauptung und dazu die Annahme. --Flo 21 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
somit wäre aus meiner sicht bewiesen, dass a auch parallel zu c ist. Falls dieser Beweis so stimmt:
Wie gehe ich mit folgenden Punkten um:
| Das hab ich geschrieben | das gefällt mir daran überhaupt nicht | so wäre es richtig |
| zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c | das kann irgendwie nicht sein, weil das möchte ich eigentlich gar nicht zeigen. ich möchte vielmehr zeigen, dass a grad nicht parallel zu c ist, aber das ist ja meine Behauptung - irgendwie doppelt gemoppelt, oder? außerdem habe ich gar nicht gezeigt, dass b c schneidet (du solltest evtl vorab schreiben, dass sich 2 Geraden schneiden und dadurch ein Schnittpunkt entsteht. Eine Gerade ist in einem Axiom festgelegt, dass sie eine Menge von Punkten darstellt.) --Flo 21 20:15, 8. Mai 2011 (CEST) | |
| "Festlegung, Schnittpunkt b, c" in Beweisschritt 4 und 5 | ich glaube, dass man das irgendwie anders schreiben sollte - das scheint mir aber wenig professionell |
Dankeschön --Flo60 22:05, 7. Mai 2011 (CEST)
vielleicht ist aber auch das einfacher und bedeutend klüger:
Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, ,
Behauptung: a schneidet c
zu zeigen: a ist nicht parralel zu b (bzw. b ist nicht parallel zu c)
| Nummer | Beweisschritt | Begründung |
| (1) | a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden | Vor. |
| (2) | |
Vor. |
| (3) | |
Vor. |
| (4) | A ε a | Schnittpunkt a, c |
| (5) | A ε c | Schnittpunkt a, c |
| (6) | a nicht parallel zu b | Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass
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--Flo60 22:27, 7. Mai 2011 (CEST)
Dein zweite Variante ist m.E. überflüssig. Du führst den Beweis praktisch 2 Mal. Du kannst auch schreiben oBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) --Flo 21 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --Flo 21 15:30, 5. Mai 2011 (CEST)
Diese Eigenschaft, dass wenn a zu b und b zu c in Relation steht dann auch a zu c in Relation stehtnennt man Transitivität.Klemens 19:36, 5. Mai 2011 (CEST)
