Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11): Unterschied zwischen den Versionen
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<br /><br />Meine Lösung zu a) sieht so aus: Nach der Vorraussetzung schneiden sich die Geraden a und c in einem beliebigen Punkt A. Die Gerade b jedoch ist parallel zu a und zu c. Nach dem Parallelenaxiom gibt es aber in A höchstens eine Gerade die parallel zu b ist. => Widerspruch. <br /> Ist das verständlich?<br /> | <br /><br />Meine Lösung zu a) sieht so aus: Nach der Vorraussetzung schneiden sich die Geraden a und c in einem beliebigen Punkt A. Die Gerade b jedoch ist parallel zu a und zu c. Nach dem Parallelenaxiom gibt es aber in A höchstens eine Gerade die parallel zu b ist. => Widerspruch. <br /> Ist das verständlich?<br /> | ||
− | -->Ja ich finde das ist verständlich und würde sagen es ist auch richtig. --[[Benutzer:Fledermaus|Fledermaus]] 22:53, 10. Mai 2011 (CEST) | + | -->Ja ich finde das ist verständlich und würde sagen es ist auch richtig. |
+ | Müsste man dann als das zu zeigen folgendes schreiben: Es ist zu zeigen, dass es nur eine Gerade gibt, die parallel zu b verläuft und durch A geht? --[[Benutzer:Fledermaus|Fledermaus]] 22:53, 10. Mai 2011 (CEST) | ||
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Version vom 10. Mai 2011, 22:56 Uhr
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: .
b) Welche Eigenschaft der Relation auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?
Ich mache mal einen Anfang:
Vor.: a, b und c sind drei paarweise versch. Geraden
Beh.: .
Annahme: a nicht parallel zu c
Beweisschritt | Begründung |
1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden | Vor. |
2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt (welche Gerade ist hier gemeint?) die Gerade a | Axiom I/0 |
3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist | 2), Parallelenaxiom |
4) eine weitere Gerade geht durch A und ist nicht parallel zu a (hm... ich verstehe die Beweisführung bzw. dieses Argument an dieser Stelle nicht und warum ist das ein Widerspruch zur Annahme? Vllt. wäre eine Skizze an dieser Stelle nicht schlecht.)--Tutor Andreas 13:42, 6. Mai 2011 (CEST)Und wie füge ich eine Skizze ein? Wie füge ich die ganzen mathematischen Zeichen ein? Ich habe nur von oben kopiert. --Flo 21 19:55, 8. Mai 2011 (CEST) | Def. Schnittpkt von Geraden |
Widerspruch zur Vor. |
Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, ,
Behauptung: Annahme: a ist nicht parralel zu c
zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c
Nummer | Beweisschritt | Begründung |
(1) | a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden | Vor. |
(2) | ![]() |
Vor. |
(3) | ![]() |
Vor. |
(4) | B ε b | Festlegung, Schnittpunkt b, c |
(5) | B ε c | Festlegung, Schnittpunkt b, c |
(6) | b nicht parallel zu c | Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass ![]() |
So wie ich das sehe, hast du die Aufgabe nicht erfüllt. Der Beweis soll durch Widerspruch geführt werden. D.h. du benötigst erst die Vor. dann die Behauptung und dazu die Annahme. --Flo 21 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
somit wäre aus meiner sicht bewiesen, dass a auch parallel zu c ist. Falls dieser Beweis so stimmt:
Wie gehe ich mit folgenden Punkten um:
Das hab ich geschrieben | das gefällt mir daran überhaupt nicht | so wäre es richtig |
zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c | das kann irgendwie nicht sein, weil das möchte ich eigentlich gar nicht zeigen. ich möchte vielmehr zeigen, dass a grad nicht parallel zu c ist, aber das ist ja meine Behauptung - irgendwie doppelt gemoppelt, oder? außerdem habe ich gar nicht gezeigt, dass b c schneidet (du solltest evtl vorab schreiben, dass sich 2 Geraden schneiden und dadurch ein Schnittpunkt entsteht. Eine Gerade ist in einem Axiom festgelegt, dass sie eine Menge von Punkten darstellt.) --Flo 21 20:15, 8. Mai 2011 (CEST) | |
"Festlegung, Schnittpunkt b, c" in Beweisschritt 4 und 5 | ich glaube, dass man das irgendwie anders schreiben sollte - das scheint mir aber wenig professionell |
Dankeschön --Flo60 22:05, 7. Mai 2011 (CEST)
vielleicht ist aber auch das einfacher und bedeutend klüger:
Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, ,
Behauptung: a schneidet c
zu zeigen: a ist nicht parralel zu b (bzw. b ist nicht parallel zu c)
Nummer | Beweisschritt | Begründung |
(1) | a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden | Vor. |
(2) | ![]() |
Vor. |
(3) | ![]() |
Vor. |
(4) | A ε a | Schnittpunkt a, c |
(5) | A ε c | Schnittpunkt a, c |
(6) | a nicht parallel zu b | Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass ![]() |
--Flo60 22:27, 7. Mai 2011 (CEST)
Dein zweite Variante ist m.E. überflüssig. Du führst den Beweis praktisch 2 Mal. Du kannst auch schreiben oBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) --Flo 21 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --Flo 21 15:30, 5. Mai 2011 (CEST)
Diese Eigenschaft, dass wenn a zu b und b zu c in Relation steht dann auch a zu c in Relation stehtnennt man Transitivität.Klemens 19:36, 5. Mai 2011 (CEST)
Meine Lösung zu a) sieht so aus: Nach der Vorraussetzung schneiden sich die Geraden a und c in einem beliebigen Punkt A. Die Gerade b jedoch ist parallel zu a und zu c. Nach dem Parallelenaxiom gibt es aber in A höchstens eine Gerade die parallel zu b ist. => Widerspruch.
Ist das verständlich?
-->Ja ich finde das ist verständlich und würde sagen es ist auch richtig. Müsste man dann als das zu zeigen folgendes schreiben: Es ist zu zeigen, dass es nur eine Gerade gibt, die parallel zu b verläuft und durch A geht? --Fledermaus 22:53, 10. Mai 2011 (CEST)