Übung Aufgaben 5 S (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

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Vorauss.: A<s>=</s>B<s>=</s>C<s>=</s>A und koll(A,B,C)
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Beh.: O.B.d.A. Zw(A,B,C)
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'''Beweis der Existenz:'''
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Annahme: nicht Zw(A,B,C)
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1. d.h. <math>\overline{AB} + \overline{BC} \neq \overline{AC}</math>
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  (da Annahme und Kontraposition der Zwischenrelation)
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2. nkoll(A,B,C)
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  (da Kontraposition der Dreiecksungleichung: koll(A,B,C)<math>\Rightarrow</math> O.B.d.A. <math>\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}</math> )
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Widerspruch zur Voraussetzung
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'''Beweis der Eindeutigkeit:'''
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Vorauss.: Zw(A,B,C)
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Beh.: <math>\neg Zw (A,C,B) und \neg Zw(B,A,C)</math>
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Annahme: Zw(A,C,B)
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1.<math>\overline{AC} + \overline{CB} = \overline{AB}</math>
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  (da Annahme)
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2. d.h. <math>\overline{AC} < \overline{AB} und \overline{CB} < \overline{AB}</math>
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Widerspruch zur Annahme, da dort gefordert ist: <math>\overline{AB} < \overline{AC}</math>
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--Wokkow 12:17, 20. Mai 2012 (CEST)
  
 
==Aufgabe 5.3==
 
==Aufgabe 5.3==

Version vom 20. Mai 2012, 11:17 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgaben zum Abstand

Aufgabe 5.1

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten \ A, B und \ C ein und derselben Geraden \ g liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.


Lösung von Aufgabe 5.1_S (SoSe_12)

Aufgabe 5.2

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte \ A, B und \ C gilt:
\operatorname Zw (A, B, C) \Rightarrow \overline{AB} \subset \overline{AC}

Tipps zu Aufgabe 5.2 (SoSe_12)

Lösung von Aufgabe 5.2_S (SoSe_12) Vorauss.: A=B=C=A und koll(A,B,C) Beh.: O.B.d.A. Zw(A,B,C)

Beweis der Existenz: Annahme: nicht Zw(A,B,C) 1. d.h. \overline{AB} + \overline{BC} \neq \overline{AC} 

  (da Annahme und Kontraposition der Zwischenrelation)

2. nkoll(A,B,C) 

  (da Kontraposition der Dreiecksungleichung: koll(A,B,C)\Rightarrow O.B.d.A. \overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC} )

Widerspruch zur Voraussetzung

Beweis der Eindeutigkeit: Vorauss.: Zw(A,B,C) Beh.: \neg Zw (A,C,B) und \neg Zw(B,A,C) Annahme: Zw(A,C,B) 1.\overline{AC} + \overline{CB} = \overline{AB} 

 (da Annahme)

2. d.h. \overline{AC} < \overline{AB} und \overline{CB} < \overline{AB} Widerspruch zur Annahme, da dort gefordert ist: \overline{AB} < \overline{AC} 

--Wokkow 12:17, 20. Mai 2012 (CEST)

Aufgabe 5.3

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte \ A, B und \ C gilt:
Wenn C \in \ AB^{+} und \left| AB \right| < \left| AC \right| dann gilt \operatorname Zw (A, B, C)


Lösung von Aufgabe 5.3_S (SoSe_12)


Aufgabe 5.4

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke \overline{AB} existiert genau eine Strecke \overline{AC} auf \ AB^{+} mit \left| AB \right| = \frac{1}{4} \left| AC \right| und \overline{AB} \subset \overline{AC}
Tipps zu Aufgabe 5.4 (SoSe_12)

Lösung von Aufgabe 5.4_S (SoSe_12)

Weitere Aufgabe zur Inzidenz

Aufgabe 5.5

Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4).

Lösung von Aufg. 5.5_S (SoSe_12)

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