Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | : Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel: | ||
+ | # Nichtfolgerbarkeit einer Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen | ||
+ | ::Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von <math>\ a</math> aus <math>\ A</math> scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für <math>\ A</math>. In jedem Modell für <math>\ A</math> müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus <math>\ A</math> abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für <math>\ A</math> finden, in dem <math>\ a</math> nicht gilt ... | ||
+ | # Modell für eine Menge von Axiomen | ||
+ | : ...<br /> | ||
+ | [[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC) | ||
== Axiome == | == Axiome == |
Version vom 9. Juni 2010, 14:54 Uhr
Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung)entstehen. Bitte ergänzen Sie!
Grundbegriffe (undefinierte Begriffe)
- Punkt
- Gerade
- Ebene
Begriffsklärungen
- disjunkt - elementfremd, nicht gleich
- identitiv - antisymmetrisch, gleich
(z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC) - inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung
(z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC) - kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
- komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
- reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
- symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen
(z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC) - transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste
Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch
auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
"bitte überprüft das mal jemand ;-)"
- Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen.
Beispiel: Definition:(disjunkt)
Zwei Mengenund
sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.
- Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:
- Nichtfolgerbarkeit einer Aussage
aus einer Menge
von Axiomen
- Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage
aus einer Menge
von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von
aus
scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für
. In jedem Modell für
müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus
abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für
finden, in dem
nicht gilt ...
- Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage
- Modell für eine Menge von Axiomen
- ...
*m.g.* 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)
Axiome
- Inzidenzaxiome:
AXIOM I/0
- Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)
- Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
AXIOM I/2
- Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
AXIOM I/3
- Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
Axiom I/4
- Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
Axiom I/5
- Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.
Axiom I/6
- Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
Axiom I/7
- Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
- Abstandsaxiome:
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
- Zu je zwei Punkten
und
gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl
mit
.
Axiom II.2:
- Für zwei beliebige Punkte
und
gilt
.
Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
- Für drei beliebige Punkte
und
gilt:
Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
- Zu jeder nicht negativen reelen Zahl
gibt es auf jedem Strahl
genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von
den Abstand
hat.
Definitionen
Definition I/2: (kollinear)
- Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
- Schreibweise: koll(A, B, C, ...) Sollten die Punkte A, B, C einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(A, B, C)
Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)
- Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.
Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)
- Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.
Definition I/5: (Raum)
- Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.
Definition I/6: (komplanar)
- Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)
Definition I/7: (komplanar für Geraden)
- Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
- Schreibweise: komp(g, h)
Definition I/8: (Geradenparallelität)
- Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
- In Zeichen: g||h.
Definition I/9: (windschief )
- Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.
Definition I/10: (parallel für Ebenen)
- Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.
Definition II.1: (Abstand)
- Der Abstand zweier Punkte
und
ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten
und
zugeordnet werden kann.
Schreibweise:.
Definition II.2: (Zwischenrelation)
- Ein Punkt
liegt zwischen zwei Punkten
und
, wenn
gilt und der Punkt
sowohl von
als auch von
verschieden ist.
- Schreibweise:
Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
- Es seien
und
zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die
und
sowie alle Punkte, die zwischen
und
liegen, enthält, heißt Strecke
. Stimmt das? --Sternchen 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)
- Es seien
Definition II.4: (Länge einer Strecke)
- Es seien
und
zwei verschiedene Punkte. Der Abstand
heißt Länge der Strecke
. OK? --Sternchen 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)
- Es seien
Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)
Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)
- Wenn ein Punkt
der Strecke
zu den Endpunkten
und
jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke
.
Sätze
Satz I.1
- Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.
Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)
- Es seien g und h zwei Geraden.
- Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.
Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)
- Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.
Satz I.5:
- Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.
Satz I.6:
- Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
Satz I.7:
- Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.
Satz II.1
- Aus
folgt
.
Satz II.2:
- Aus
folgt
.
Satz II.3
- Es sei
mit
sind paarweise verschieden.
Dann giltoder
oder
.
Satz II.4
- Es sei
ein Punkt einer Geraden
.
Die Teilmengen,
und
bilden eine Klasseneinteilung der Geraden
.
- Es sei
Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)
- Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.