Serie 11 (WS 12 13): Unterschied zwischen den Versionen

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... jeweils denselben Abstand.
 
  
 
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Version vom 23. Januar 2013, 10:40 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 11.01

Formulieren Sie die Umkehrung des Basiswinkelsatzes.

Lösung Aufgabe 11.01 WS_12_13

Aufgabe 11.02

Es seien A, B, C drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel \alpha=\angle CAB und \beta= \angle CBA seien kongruent zueinander.
Behauptung:

\overline{AC} \tilde= \overline{BC}


Ergänzen Sie den folgenden Beweis

(H) Hilfskonstruktion:

m_c sei die Mittelsenkrechte der Strecke \overline{AB}.
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann:
.................................................

Was wäre wenn

Wenn die Mittelsenkrechte m_c durch C gehen würde, wären die Strecken \overline{CA} und \overline{CB} kongruent zueinander.
Begründung hierfür:
..................................................

Was wäre wenn nicht

Annahme: C \not \in m_c


Nr. Beweischritt Begründung
(1) m_c schneidet o.B.d.A. \overline{CA} in einem Punkt, den wir c^* nennen wollen ...
(2) \overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B} ...
(3) \alpha \tilde= \angle C^*BA ...
(4) \beta \tilde= \alpha ...
(5) \beta \tilde= \angle C^*BA ...

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:

Die beiden Winkel \beta und \angle C^*BA sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe.
Weil sie auch den Schenkel BA^+ gemeinsam haben und C und C^* in derselben Halbebene bzgl. AB liegen,
müssen die die Schenkel BC^+ und BC^{*+} nach dem ... identisch sein.
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen BC^+ und BC^{*+} und weil C der Schnittpunkt von BC mit AC und C^{*} der Schnittpunkt von BC^* mit AC ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte m_c durch den Punkt C. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall \overline{AC} \tilde= \overline{BC} gilt. q.e.d.


Lösung Aufgabe 11.02 WS_12_13

Aufgabe 11.03

Es sei \alpha ein Winkel mit den Schenkeln g und h und dem Scheitel S. Ferner sei w die Winkelhalbierende von \alpha, also ein Strahl im Inneren von \alpha, der als Anfangspunkt S hat und \alpha in zwei kongruente Teilwinkel \alpha_1 und \alpha_2 teilt. Auf w sei ein beliebiger von S verschiedener Punkt P gegeben. F_g sei der Fußpunkt des Lotes von P auf h:



Wir konstruieren jetzt auf dem Schenkel h den Punkt F_g, indem wir auf h den Abstand |SF_g| abtragen:





Beweisen Sie: F_g ist der Fußpunkt des Lotes von P auf g.

Lösung Aufgabe 11.03 WS_12_13

Aufgabe 11.04

Definieren Sie: Abstand eines Punktes P zu einer Geraden g:

Lösung Aufgabe 11.04 WS_12_13


Aufgabe 11.05

Ergänzen Sie die folgende Implikation:
Wenn ein Punkt P zur Winkelhalbierenden des Winkels \alpha gehört, dann hat er zu den Schenkeln von \alpha .......


Lösung Aufgabe 11.05 WS_12_13


Aufgabe 11.06

Es sei P ein Punkt aus dem Inneren des Winkels \alpha. Der Scheitel von \alpha sei der Punkt S. P möge zu den Schenkeln von \alpha jeweils denselben Abstand haben. Beweisen Sie: SP^+ ist die Winkelhalbierende von \alpha. Tip: Ssw hilft.

Lösung Aufgabe 11.06 WS_12_13

Aufgabe 11.07

Die Implikationen aus 11.05 und 11.06 lassen sich zu einer Äquivalenz zusammenfassen:

Ein beliebiger Punkt P aus dem Inneren eines Winkels \alpha ist genau dann ein Punkt der Winkelhalbierenden von \alpha, wenn .......

Lösung Aufgabe 11.07 WS_12_13


Aufgabe 11.08

Beweisen Sie die folgenden Korollare aus dem ´schwachen Außenwinkelsatz:


Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz

In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.

Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz

Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

Korollar 3 zum schwachen Außenwinkelsatz

Sollte ein Dreieck rechtwinklig sein, dann ist der rechte Winkel der größte aller Innenwinkel dieses Dreiecks.

Lösung Aufgabe 11.08 WS_12_13


Aufgabe 11.09

Beweisen Sie: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)

Zu jedem Punkt \ P außerhalb einer Geraden \ g gibt es genau ein Lot von \ P auf \ g.


Lösung Aufgabe 11.09 WS_12_13


Aufgabe 11.10

Wir beziehen uns auf den Beweis des schwachen Außenwinkelsatzes aus der Vorlesung vom 18. Januar 2013.

Der Punkt P sei in der beschriebenen Art und Weise konstruiert.


Es blieb zu zeigen, dass P im Inneren von \beta' liegt. Was das bedeutet ist klar:

  1. P \in AB,C^-
  2. P \in BC,A^+

Teil 1 war einfach, wir haben P ja schließlich so konstruiert.


Teil 2 hätten wir auch dann gezeigt, wenn wir nachweisen, dass P im Inneren von des Winkels \angle ACB liegt. Das Innere von \angle ACB ist schließlich nichts anderes als die Schnittmenge der beiden Halbebene AC,B^+ und BC.A^+. Von diesen beiden Halbebenen interessiert uns eigentlich nur BC.A^+. Aber gut, wenn P im Inneren von \angle ACB liegen würde, dann würde P natürlich auch in BC,A^+ liegen.

Beweisen unter Verwendung der Lemmata zu Winkeln, dass P im Inneren von des Winkels \angle ACB liegt.

Lösung Aufgabe 11.10 WS_12_13

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