Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 22. Juni 2010, 17:44 Uhr

Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung) entstehen. Bitte ergänzen Sie!

Inhaltsverzeichnis

1 Grundbegriffe (undefinierte Begriffe)
2 Begriffsklärungen
- 2.1 Klasseneinteilung
- 2.2 Relationen
3 Axiome
4 Definitionen
5 Sätze

Grundbegriffe (undefinierte Begriffe)

Punkt
Gerade
Ebene

Begriffsklärungen

disjunkt - elementfremd, nicht gleich
identitiv - antisymmetrisch, gleich
(z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung
(z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen
(z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste
Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch
auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)

"bitte überprüft das mal jemand ;-)"

Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen.
Beispiel: Definition:(disjunkt)
Zwei Mengen $\ A$ und $\ B$ sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.

Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:

Nichtfolgerbarkeit einer Aussage $\ a$ aus einer Menge $\ A$ von Axiomen

Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage $\ a$ aus einer Menge $\ A$ von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von $\ a$ aus $\ A$ scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für $\ A$ . In jedem Modell für $\ A$ müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus $\ A$ abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für $\ A$ finden, in dem $\ a$ nicht gilt ...

Modell für eine Menge von Axiomen

...

*m.g.* 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)

Klasseneinteilung

Es sei $M$ eine Menge und $K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\}$ eine Menge von Teilmengen von $M$ .

$K$ ist eine Klasseneinteilung von $M$ , wenn gilt:

notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge $M$ .

Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

Relationen

Definition: (n-stellige Relation)

Es seien $M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n$ Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus $M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n$ ist eine $\ n-$ stellige Relation.

Definition: (Äquivalenzrelation)

Eine Relation $\ R$ in einer Menge $\ M$ heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Axiome

Inzidenzaxiome:

AXIOM I/0

Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

AXIOM I/2

Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

AXIOM I/3

Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

Axiom I/6

Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

Axiom I/7

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Abstandsaxiome:

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $\ d$ mit $d=0:\Longleftrightarrow A=B$ .

Axiom II.2:

Für zwei beliebige Punkte $\ A$ und $\ B$ gilt $\left| AB \right| = \left| BA \right|$ .

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)

Zu jeder nicht negativen reelen Zahl $\ d$ gibt es auf jedem Strahl $\ p$ genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von $\ p$ den Abstand $\ d$ hat.

Definitionen

Definition I/2: (kollinear)

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise: koll(A, B, C, ...) Sollten die Punkte A, B, C einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(A, B, C)

Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)

Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)

Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Definition I/5: (Raum)

Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Definition I/6: (komplanar)

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

Definition I/7: (komplanar für Geraden)

Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

Definition I/8: (Geradenparallelität)

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g||h.

Definition I/9: (windschief )

Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

Definition I/10: (parallel für Ebenen)

Zwei Ebene E₁ und E₂ sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $\ A$ und $\ B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $\ A$ und $\ B$ zugeordnet werden kann.
Schreibweise: $d = \left| AB \right|$ .

Definition II.2: (Zwischenrelation)

Schreibweise: $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die $\ A$ und $\ B$ sowie alle Punkte, die zwischen $\ A$ und $\ B$ liegen, enthält, heißt Strecke $\overline{AB}$ . Stimmt das? --Sternchen 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)

Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Der Abstand $\vert AB \vert$ heißt Länge der Strecke $\overline{AB}$ . OK? --Sternchen 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)

Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Lösung_von_Aufgabe_6.5

Lösung_von_Aufgabe_6.6

Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

Wenn ein Punkt $\ M$ der Strecke $\overline{AB}$ zu den Endpunkten $\ A$ und $\ B$ jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ .

Definition IV.1: (offene Halbebene)

Es sei $\ \Epsilon$ eine Ebene in der die Gerade $\ g$ liegen möge. Ferner sei $\ Q$ ein Punkt der Ebene $\ \Epsilon$ , der nicht zur Geraden $\ g$ gehört.
Unter den offenen Halbebenen $\ gQ^{+}$ und $\ gQ^{-}$ bezüglich der Trägergeraden $\ g$ versteht man die folgenden Punktmengen:

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

Definition IV.2: (Halbebene)

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

Sätze

Satz I.1

Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)

Es seien g und h zwei Geraden.

Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.

Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)

Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

Satz I.5:

Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

Satz I.6:

Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.7:

Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

Satz II.1

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{Zw} \left( C, B, A \right)$ .

Satz II.2:

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ .

Satz II.3

Es sei $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ mit $\ A, B, C$ sind paarweise verschieden.
Dann gilt $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( A, C, B \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( B, A, C \right)$ .

Satz II.4

Es sei $\ O$ ein Punkt einer Geraden $\ g$ .
Die Teilmengen $\ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}$ , $\left\{ O \right\}$ und $\ OA^- \setminus \left\{ O \right\}$ bilden eine Klasseneinteilung der Geraden $\ g$ .

Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)

Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

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 ===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
 :::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math>  gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:
 ::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
 ::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
+[[Bild:Dozenten.jpg]]
 ===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
 ::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup  \{g\}</math>
 ::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
 [[Bild:Dozenten.jpg]]