Halbebenen oder das Axiom von Pasch: Unterschied zwischen den Versionen
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==== Halbebenen ==== | ==== Halbebenen ==== |
Version vom 23. Juni 2010, 23:26 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Halbebenen und das Axiom von Pasch
Halbebenen
Analogiebetrachtungen
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ist eine Gerade | ist eine Ebene |
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eindimensional | zweidimensional |
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Anfangspunkt | Trägergerade |
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eindimensional | zweidimensional |
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--*m.g.* 20:00, 23. Jun. 2010 (UTC)
Definition des Begriffs der Halbebene
Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen
Offene Halbebenen
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene , die nicht auf einer Geraden dieser Ebene liegen, durch diese Gerade eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von bezüglich der Trägergeraden . Der nicht zu gehörende Referenzpunkt bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich mit auf derselben Seite liegen, wird mit bezeichnet, die andere offene Halbebene von bezüglich und mit .
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte und einer Ebene auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden liegen.
Definition IV.1: (offene Halbebene)
- Es sei eine Ebene in der die Gerade liegen möge. Ferner sei ein Punkt der Ebene , der nicht zur Geraden gehört.
Unter den offenen Halbebenen und bezüglich der Trägergeraden versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene ohne die Gerade :
- Es sei eine Ebene in der die Gerade liegen möge. Ferner sei ein Punkt der Ebene , der nicht zur Geraden gehört.
Halbebenen
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.
Definition IV.2: (Halbebene)
--Principella 20:30, 21. Jun. 2010 (UTC)
HI, schau mal, ich hab das abgeändert, aber kann man das so stehen lassen!? also einfach nur g in der Lösungsmenge!? Oder muss das irgendwie mit {P Element von g} oder wie wäre das formal korrekt?--TimoRR 22:04, 21. Jun. 2010 (UTC)
Das müsste so OK sein, die Halbebene gQ+ ist ja die Vereingung genau dieser zwei Punktmengen...
Danke :)
Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen
Repräsentantenunabhängigkeit?
Satz IV.1
- Wenn ein Punkt der Halbebene ist, dann gilt und .
Beweis des Satzes IV.1
Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite)
Voraussetzung:
Behauptung: und
Fallunterscheidung:
Fall I und sind nicht kollinear.
Fall II und sind kollinear.
Fall I und sind nicht kollinear. | ||
Schritt | Aussage | Begründung |
(1) | Die Strecke schneidet nicht die Trägergerade g. |
Definition von Halbebene |
(2) | liegt in der Halbebene |
Voraussetzung |
(3) | Schritt (1) und (2) | |
(4) | Da (Def. der Halbebene ) und (nach Voraussetzung) keinen Schnittpunkt mit haben, kann auch als dritte Seite des Dreiecks keinen Schnittpunkt mit g haben (da sonst Widerspruch mit Axiom von Pasch).
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Schritt (3) und Satz von Pasch |
(5) | Schritt (4) | |
(6) | Es gilt: und
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(7) | Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6) | |
(8) | Die Mengen und sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen und Schritt (7) - Durch Umformung:
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Fall II und sind kollinear, liegen auf der Geraden . | ||
Schritt | Aussage | Begründung |
(1) | Die Strecke schneidet nicht die Trägergerade g. |
Definition von Halbebene |
(2) | liegt in der Halbebene , dadurch gilt: die Strecke schneidet nicht die Trägergerade g. |
Voraussetzung und Definition von Halbebene |
(3) | Wenn und paarweise verschieden sind, dann gilt
| |
(4) | Wenn , dann ist und dadurch gilt | Zwischenrelation, Voraussetzung |
(5) | Wenn , dann ist und dadurch gilt | Zwischenrelation, Voraussetzung |
(6) | Wenn , dann gehören alle Punkte der Strecke entweder zur Strecke oder zur Strecke , für die gilt oder
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Zwischenrelation, Aussagenlogik |
(7) | Trivial, bzw. analog zu Fall I |
Stimmt das so? Nochmal geändert... --Heinzvaneugen 15:10, 23. Jun. 2010 (UTC)
Analog dazu: Übungsaufgabe 8.1. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass . Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.
Das Axiom von Pasch
- Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.
Hans Freudenthal, Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)
- Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.
Axiom III.2: Das Axiom von Pasch
- Gegeben sei ein Dreieck . Ferner sei eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte geht. Wenn eine der drei Seiten des Dreiecks schneidet, dann schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks .
Konvexe Punktmengen
Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)
- Eine Menge von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten und dieser Menge die gesamte Strecke zu gehört.
Satz IV.2
- Halbebenen sind konvexe Punktmengen
Beweis von Satz IV.2
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
Satz IV.3
- Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
Beweis von Satz IV.3
Es seien und zwei konvexe Mengen.
zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen und ist auch konvex.
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