Serie 5 SoSe 2013: Unterschied zwischen den Versionen

Lesen Sie vorab das Skript

Aufgabe 5.01

Wir betrachten das folgende Modell M für die Inzidenzgeometrie Modellpunkte:
P = {A,B,C,D}
Modellgeraden:
G = {{A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}}
Inzidenz:
Elementbeziehung
a) Warum ist M kein Modell für die ebene Inzidenzgeometrie?
b) Ergänzen Sie M derart, dass alle Axiome der ebenen Inzidenz erfüllt sind.
Lösung von Aufgabe 5.01 S SoSe 13

Aufgabe 5.02

Die Axiome eines Axiomensystems sollen unabhängig voneinander sein. Was versteht man darunter?

Lösung von Aufgabe 5.02 S SoSe 13

Aufgabe 5.03

Die Axiome eines Axiomensystems sollen widerspruchsfrei sein. Was versteht man darunter?

Lösung von Aufgabe 5.03 S SoSe 13

Aufgabe 5.04

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

1. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien , und drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn , und … , dann … .“
2. Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
3. Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
4. Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
5. Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
6. Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

Lösung von Aufgabe 5.04 S SoSe 13

Aufgabe 5.05

Beweisen Sie Satz I.6: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Lösung von Aufgabe 5.05 S SoSe 13

Aufgabe 5.06

Definieren Sie den Begriff der Komplanarität für Punkte. Ab wieviel Punkte macht der Begriff Sinn? Begründen Sie Ihre Antwort.

Lösung von Aufgabe 5.06 S SoSe 13

Aufgabe 5.07

Man muß jederzeit an Stelle von ‚Punkten‘, ‚Geraden‘, ‚Ebenen‘, ‚Tische‘, ‚Stühle‘, ‚Bierseidel‘ sagen können.
David Hilbert (1862-1943)

Interpretieren Sie die Aussage von Hilbert bezüglich der axiomatischen Geometrie. Hinweis: Der Begriff des Modells hilft.

Lösung von Aufgabe 5.07 S SoSe 13