Lösung von Aufgabe 11.7: Unterschied zwischen den Versionen
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Welches Winkel sind <math>alpha</math> und <math>beta</math> und welche Bedingungen müssen erfüllt sein, dass der Basiswinkelsatz überhaupt angewandt werden kann? Schritt 3 muss nochmal überprüft werden! Ist ein kongruenter Winkel überhaupt nötig? Warum nicht der Kongruentssatz SSS?<br /> | Welches Winkel sind <math>alpha</math> und <math>beta</math> und welche Bedingungen müssen erfüllt sein, dass der Basiswinkelsatz überhaupt angewandt werden kann? Schritt 3 muss nochmal überprüft werden! Ist ein kongruenter Winkel überhaupt nötig? Warum nicht der Kongruentssatz SSS?<br /> | ||
--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 13:06, 10. Jul. 2010 (UTC) | --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 13:06, 10. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | Die Winkel <math>alpha</math> und <math>beta</math> entsprechen den Winkel <math>\angle PAB</math> und <math>\angle ABP</math>. Die Kongruenz dieser Winkel ist nötig, um den Satz über SWS zu beweisen. Wenn du den Satz über SSS beweist, dann brauchst du die Winkel logischer Weise nicht. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:27, 10. Jul. 2010 (UTC) | ||
== Versuch 2: == | == Versuch 2: == |
Version vom 10. Juli 2010, 17:27 Uhr
Beweisen Sie Satz VII.6a:
Wenn ein Punkt zu den Endpunkten der Strecke
jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von
.
Versuch 1:
VSS: Punkt P, ,
, Mittelsenkrechte m
Beh:
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | ![]() |
(VSS) |
(II) | es existiert ein Punkt ![]() |
Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt (I) |
(III) | ![]() |
Basiswinkelsatz |
(IV) | ![]() |
(I), (II), (III), (SWS) |
(V) | ![]() |
(Def Dreieckskongruenz) (IV) |
(VI) | ![]() |
(Axiom I.1), (II), (V) |
--> , die Behauptung ist wahr.
qed --Löwenzahn 13:52, 4. Jul. 2010 (UTC)
Welches Winkel sind und
und welche Bedingungen müssen erfüllt sein, dass der Basiswinkelsatz überhaupt angewandt werden kann? Schritt 3 muss nochmal überprüft werden! Ist ein kongruenter Winkel überhaupt nötig? Warum nicht der Kongruentssatz SSS?
--Tja??? 13:06, 10. Jul. 2010 (UTC)
Die Winkel und
entsprechen den Winkel
und
. Die Kongruenz dieser Winkel ist nötig, um den Satz über SWS zu beweisen. Wenn du den Satz über SSS beweist, dann brauchst du die Winkel logischer Weise nicht. --Löwenzahn 15:27, 10. Jul. 2010 (UTC)
Versuch 2:
VSS:
- Punkt P, Strecke
, es gilt
- Mittelsenkrechte m; für die gilt laut Definition: senkrecht zu
und geht durch
und es gilt:
Behauptung:
Annahme (indirekter Beweis):
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Das Dreieck ![]() |
Definition gleichschenkliges Dreieck, da laut VSS ![]() |
(II) | ![]() |
Basiswinkelsatz |
(III) | Es existiert eine Winkelhalbierende w des winkels ![]() |
Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden): Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende. |
(IV) | Die Winkelhalbierende w und die Strecke ![]() ![]() |
... (Skizze? Reicht das als Begründung?)
Nein, Satz: Ist SP+ ein Strahl im Inneren des Winkels <ASB, so schneidet er die Strecke |
(VI) | SWS: ![]() ![]() ![]() | |
(VII) | ![]() |
Dreieckskongruenz: (VI) |
(VIII) | ![]() |
(VII), Existenz und Eindeutigkeit eines Mittelpunktes, da laut (VSS) gilt: ![]() |
(IX) | ![]() |
Dreieckskongruenz: (VI), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel |
(X) | ![]() |
(VIII), (IX), (III), (VSS) |
Einige Schritte sind zum besseren Verständnis in kleinste Einheiten aufgeteilt, deswegen sind es letztlich 10 Beweisschritte. Die Grundidee ist simpel: mit der Winkelhalbierenden erzeugt man zwei kongruente Dreiecke. Analog zur Lösung 1, wo der Knackpunkt der Mittelpunkt der Basis (gleichschenkliges Dreieck) ist, läuft der Beweis ab der Winkelhalbierenden "automatisch" durch.
--Heinzvaneugen 12:19, 10. Jul. 2010 (UTC)