Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11): Unterschied zwischen den Versionen

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Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> <br />
 
Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> <br />
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Behauptung: a ist nicht parralel zu c <br />
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Behauptung: a schneidet c <br />
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zu zeigen: a schneidet c
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zu zeigen: a ist nicht parralel zu b (bzw. b ist nicht parallel zu c)
  
 
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| (5) || A ε c || Schnittpunkt a, c
 
| (5) || A ε c || Schnittpunkt a, c
 
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| (6) || b nicht parallel zu c || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ b \| c </math>
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| (6) || a nicht parallel zu b || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ a \| b </math>
 
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Version vom 7. Mai 2011, 21:30 Uhr

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: \ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c .
b) Welche Eigenschaft der Relation \| auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?

Ich mache mal einen Anfang:
Vor.: a, b und c sind drei paarweise versch. Geraden
Beh.: \ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c .

Annahme: \ a \| b \land b \| c \Rightarrow a nicht parallel zu c

Beweisschritt Begründung
1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden Vor.
2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt (welche Gerade ist hier gemeint?) Axiom I/0
3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist 2), Parallelenaxiom
4) eine weitere Gerade geht durch A und ist nicht parallel zu a (hm... ich verstehe die Beweisführung bzw. dieses Argument an dieser Stelle nicht und warum ist das ein Widerspruch zur Annahme? Vllt. wäre eine Skizze an dieser Stelle nicht schlecht.)--Tutor Andreas 13:42, 6. Mai 2011 (CEST) Def. Schnittpkt von Geraden
Widerspruch zur Vor.


Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, \ a \| b , \ b \| c
Behauptung: a ist nicht parralel zu c
zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c

Nummer Beweisschritt Begründung
(1) a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden Vor.
(2) \ a \| b Vor.
(3) \ b \| c Vor.
(4) B ε b Festlegung, Schnittpunkt b, c
(5) B ε c Festlegung, Schnittpunkt b, c
(6) b nicht parallel zu c Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass \ b \| c

somit wäre aus meiner sicht bewiesen, dass a auch parallel zu c ist. Falls dieser Beweis so stimmt: Wie gehe ich mit folgenden Punkten um:

Das hab ich geschrieben das gefällt mir daran überhaupt nicht so wäre es richtig
zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c das kann irgendwie nicht sein, weil das möchte ich eigentlich gar nicht zeigen. ich möchte vielmehr zeigen, dass a grad nicht parallel zu c ist, aber das ist ja meine Behauptung - irgendwie doppelt gemoppelt, oder? außerdem habe ich gar nicht gezeigt, dass b c schneidet
"Festlegung, Schnittpunkt b, c" in Beweisschritt 4 und 5 ich glaube, dass man das irgendwie anders schreiben sollte - das scheint mir aber wenig professionell

Dankeschön --Flo60 22:05, 7. Mai 2011 (CEST)

vielleicht ist aber auch das einfacher und bedeutend klüger:

Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, \ a \| b , \ b \| c
Behauptung: a schneidet c
zu zeigen: a ist nicht parralel zu b (bzw. b ist nicht parallel zu c)


Nummer Beweisschritt Begründung
(1) a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden Vor.
(2) \ a \| b Vor.
(3) \ b \| c Vor.
(4) A ε a Schnittpunkt a, c
(5) A ε c Schnittpunkt a, c
(6) a nicht parallel zu b Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass \ a \| b



--Flo60 22:27, 7. Mai 2011 (CEST)
b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --Flo 21 15:30, 5. Mai 2011 (CEST) Diese Eigenschaft, dass wenn a zu b und b zu c in Relation steht dann auch a zu c in Relation stehtnennt man Transitivität.Klemens 19:36, 5. Mai 2011 (CEST)

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