Lösung von Aufgabe 4.3 S (SoSe 12)
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Version vom 22. Mai 2012, 18:15 Uhr von Andreas (Diskussion | Beiträge)
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Aufgabe 4.3
Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.
- Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien , und drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn , und … , dann … .“
- Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
- Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
- Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
- Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
- Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
Lösungsvorschlag 1 (Numero6)
Teilaufgabe 1
„Wenn , und nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.“
Teilaufgabe 2
Voraussetzung: nkoll (A,B,C)
Behauptung: A,B und C sind paarweise verschieden
Annahme: 2 Punkte sind nicht paarweise verschieden (Widerspruch zur Behauptung..)
Beweisschritt | Begründung | |
---|---|---|
(1) | Voraussetzung | |
(2) | oBdA: ; | Annahme |
(3) | (2), Axiom I/1 | |
(4) | (2), (3), Def. kollinear | |
(5) | Widerspruch zur Voraussetzung | (4), (1) |
(6) | Behauptung stimmt | (5) |
- Wie sieht es aus, wenn alle drei Punkte identisch sind, also A = B = C?--Tutor Andreas 18:15, 22. Mai 2012 (CEST)
Teilaufgabe 3
„Wenn , und nicht paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinear.“
Teilaufgabe 4
Voraussetzung: mindestens 2 der 3 Punkte (A,B,C) sind identisch
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweisschritt | Begründung | |
---|---|---|
(1) | oBdA: | Voraussetzung |
(2) | (1), Axiom I/1 | |
(3) | (1), (2), Def. kollinear |
Teilaufgabe 5
„Wenn , und paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.“
Teilaufgabe 6
Die Umkehrung von Satz I gilt NICHT!!! (siehe Gegenbeispiel)
--Tchu Tcha Tcha 19:12, 13. Mai 2012 (CEST)
Lösungsvorschlag 2 (Nemo81)
Hier mal meine Lösung, glaube dass die nicht wirklich gut ist.
@Nemo81 Es gibt nichts Gutes, außer man tut es. --*m.g.* 19:05, 19. Mai 2012 (CEST) Ich hab Ihre Ausführungen hier nur mal wegen der besseren Übersichlichkeit in ein Tabelle eingetragen. Jetzt starte ich mal auf der Hauptseite einen Aufruf, Ihnen zu helfen.
Vor: A,B,C nkoll
Beh: A,B,C paarweise verschieden
Ann: Fall 1 A=B=C
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
1) | A,B,C nkoll | laut Vor |
2) | Es gibt eine Menge von Geraden AB,AC,BC | laut Axiom I/1 und 1) |
3) | A=B=C | laut Ann |
4) | Es exsistiert eine Gerade g mit A,B,C Element von g | Def I/2 Kollinear und 3) |
5) | Widerspruch zur Behauptung | laut 1) und 2) gibt es Eine Menge von Geraden die AB,AC,BC und laut 3) und 4) sollen die Punkte A,B,C auf einer Geraden g liegen. |
--Nemo81 14:22, 19. Mai 2012 (CEST)