weitere Aufgaben zur Inzidenz
„Man muß jederzeit an Stelle von ‚Punkten‘, ‚Geraden‘, ‚Ebenen‘, ‚Tische‘, ‚Stühle‘, ‚Bierseidel‘ sagen
können.“
David Hilbert (1862-1943)
Aufgabe 5.1
Begründen Sie:
- Jedes Modell für die Inzidenzaxiome der Ebene beinhaltet wenigstens 3 Punkte.
- Jedes Modell für die Inzidenzaxiome des Raumes beinhaltet wenigstens 4 Punkte.
Lösung von Aufgabe 5.1_S (WS_12_13)
Aufgabe 5.2
Gegeben seien eine rote Kugel aus Knete ( ), eine blaue Kugel aus Knete ( ), eine grüne Kugel aus Knete ( ) und eine schwarze Kugel aus Knete ( ). Aus einem Mikadospiel wurde jeweils genau ein Repräsentant der folgenden Stäbchenart entnommen: Mikado, Mandarin, Bonzen und Samurai.
Wir betrachten das folgende Modell für die Inzidenz:
- Menge aller Punkte
- Menge aller Geraden
Die Inzidenzrelation interpretieren wir wie folgt: Ein Modellpunkt inziert mit einer Modellgeraden, wenn der Modellpunkt auf die Modellgerade gesteckt wurde.
Wir lassen die Modellpunkte mit den Modellgeraden jetzt wie folgt inzidieren:
-
und inzidieren mit
-
und inzidieren mit
-
und inzidieren mit
-
und inzidieren mit
-
und inzidieren mit
(a) |
Fertigen Sie eine Skizze für dieses Modell an bzw. stellen Sie ein Foto von einem real gebauten Modell hier ein.
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(b) |
Nennen Sie drei verschiedene Gründe, warum dieses Modell kein Modell für die Inzidenzaxiome des Raumes ist.
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(c) |
Ergänzen Sie das Modell Sie derart, dass die Inzidenzaxiome I.1 bis I.7 erfüllt sind.
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(d) |
Mit dem von Ihnen ergänzten Modell haben Sie gezeigt, dass das Axiom I.0 unabhängig von den Axiomen I.1 bis I.7 ist. Warum?
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(e) |
Beweisen Sie: Wählt man zu unseren Knetekugeln als Modellgeraden Stäbchen eines originalen Mikadospiels derart, dass sich alle Geraden paarweise unterscheiden, so kann man kein Modell für die Inzidenzaxiome des Raumes bauen.
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Lösung von Aufgabe 5.2_S (WS_12_13)
Aufgabe 5.3
Definition
Zwei Geraden sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die beide Geraden vollständig enthält.
Beweisen Sie den folgenden Satz:
Satz *:
- Wenn zwei Geraden
und genau einen Schnittpunkt haben, so sind sie komplanar.
Lösung von Aufgabe 5.3_S (WS_12_13)
Aufgabe 5.4
Formulieren Sie Kontraposition und die Umkehrung von Satz * aus der Aufgabe 5.3. Äußern Sie sich zum Wahrheitgehalt dieser beiden Implikationen. Begründen Sie Ihre Äußerungen.
Lösung von Aufgabe 5.4_S (WS_12_13)
Aufgabe 5.5
Begründen Sie:
Eine Definition des Begriffs der Komplanarität einer Punktmenge macht nur Sinn, wenn wenigstens vier Punkte enthält.
Lösung von Aufg. 5.5_S (WS_12_13)
Aufgabe 5.6
Axiom I.7 liefert 4 Punkte, die nicht komplanar sind.
Es seien diese 4 Punkte.
Sie dürfen im folgenden ohne Beweis davon ausgehen, dass je 4 nicht komplanare Punkte paarweise verschieden sind.
Es sei eine Ebene mit .
Beweisen Sie:
- In
existiert ein Punkt mit .
Lösung von Aufg. 5.6_S (WS_12_13)
Aufgabe 5.7: Helfen Sie Yellow
In Aufgabe 4.3 war die Umkehrung der folgenden Implikation zu bilden:
Satz I: Wenn drei Punkte A, B, C nicht kollinear sind, so sind sie paarweise verschieden.
UserIn Yellow formulierte:
Wenn A,B,C paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinar
Die Umkehrung entspricht dem Axiom I.3 und kann somit nicht bewiesen werden.
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