Halbebenen oder das Axiom von Pasch

Halbebenen und das Axiom von Pasch

Halbebenen

Analogiebetrachtungen

Halbgeraden	Halbebenen

Objekt $\ G$, das in Klassen eingeteilt wird
$\ G$ ist eine Gerade	$\ G$ ist eine Ebene
Dimension von $\ G$
eindimensional	zweidimensional
Objekt $\ T$, das $\ G$ in Klassen einteilt
Anfangspunkt $\ A$	Trägergerade $\ g$
Dimension von $\ T$
nulldimensional	eindimensional
Referenzpunkt $\ Q$ teilt $\ G \setminus_{\{ Q \}}$ in genau zwei Klassen
Klasse 1: Menge aller Punkte $\ P\mathrm{\in }G$ , die mit $\ Q$ bezüglich $\ T$ „auf derselben Seite liegen“
$\ AQ^{+} = \{P| A \not \in \overline{PQ} \}$ an dieser Stelle sind noch zwei Präzisierungen notwendig: 1: es muss sichergestellt sein, dass $P$ Element der Geraden $AQ$ ist und 2: der Punkt $A$ selbst muss noch berücksichtigt werden: $\ AQ^{+} = \{P \in AQ| A \not \in \overline{PQ}\} \cup \{A\}$	$\ gQ^{+} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{\}\}$
Klasse 2: Menge aller Punkte $P\mathrm{\in }G$, die bezüglich $\ T$ nicht auf der Seite von $\ Q$liegen.
$\ AQ^{-} = \{P| A \in \overline{PQ} \}$	$\ gQ^{-} = \{P| \neg \exist S : g\cap\overline {PQ} =\{S\} \}$

--*m.g.* 20:00, 23. Jun. 2010 (UTC)

Was ich nicht verstanden habe ist, warum die Dimension vom Anfangspunkt A gleich eins ist und die Dimension von der Trägergeraden gleich zwei? Soweit ich weiß, hat ein Punkt die Dimension null und eine Gerade die Dimension 1.

Entschuldigung, mein Fehler: Ein Punkt hat natürlich die Dimension 0 und eine Gerade die Dimension 1. --*m.g.* 17:00, 27. Jun. 2010 (UTC)

Definition des Begriffs der Halbebene

Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen

Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene $\Epsilon$ gehört u.a., dass jede Gerade $\ g$, die zu unserer jeweiligen Ebene $\Epsilon$ gehört, diese in zwei Hälften bzw. zwei Seiten einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden Seiten von $\Epsilon$ bezüglich der Geraden $\ g$ verwenden wir einen Punkt $\ Q \in \Epsilon$, welcher nicht zu $\ g$ gehören sollte.
Zu der einen Hälfte von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ gehören alle die Punkte aus $\Epsilon \setminus g$, die mit $\ Q$ auf derselben Seite von $\ g$ liegen. Alle anderen Punkte aus $\Epsilon \setminus g$ gehören zur anderen Seite von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$.

Offene Halbebenen

Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene $\ \Epsilon$, die nicht auf einer Geraden $\ g$ dieser Ebene liegen, durch diese Gerade $\ g$ eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich der Trägergeraden $\ g$. Der nicht zu $\ g$ gehörende Referenzpunkt $\ Q \in \Epsilon$ bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich $\ g$ mit $\ Q$ auf derselben Seite liegen, wird mit $\ gQ^{+}$ bezeichnet, die andere offene Halbebene von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ und $\ Q$ mit $\ gQ^{-}$.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte $\ P$ und $\ Q$ einer Ebene $\ \Epsilon$ auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden $\ g$ liegen.

Definition IV.1: (offene Halbebene)

Es sei $\ \Epsilon$ eine Ebene in der die Gerade $\ g$ liegen möge. Ferner sei $\ Q$ ein Punkt der Ebene $\ \Epsilon$, der nicht zur Geraden $\ g$ gehört.
Unter den offenen Halbebenen $\ gQ^{+}$ und $\ gQ^{-}$ bezüglich der Trägergeraden $\ g$ versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene $\ \Epsilon$ ohne die Gerade $\ g$ :

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}$

Halbebenen

Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

Definition IV.2: (Halbebene)

Es sei $\ g$ eine Gerade der Ebene $\ \Epsilon$. $\ gQ^+$ und $\ gQ^-$ seien die beiden offenen Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von $\ \Epsilon$ bezüglich der Geraden $\ g$ mit jeweils dieser Geraden $\ g$ entstehen.

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: $\ g Q^+$, (geschlossene) Halbebene: $\ g Q^+$. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass $\ g Q^+$ bzw. $\ g Q^-$ immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. --*m.g.* 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen

Repräsentantenunabhängigkeit?

Satz IV.1

Wenn $\ Q_2$ ein Punkt der Halbebene $\ {gQ_1}^{+}$ ist, dann gilt $\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}$ und $\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}$.

Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite)

Voraussetzung: $Q_2 \in {gQ_1}^{+}$
Behauptung: ${gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}$ und ${gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}$
Fallunterscheidung:
Fall I $\ Q_1, Q_2$ und $\ P$ sind nicht kollinear.
Fall II $\ Q_1, Q_2$ und $\ P$ sind kollinear.

	Fall I $\ Q_1, Q_2$ und $\ P$ sind nicht kollinear.
Schritt	Aussage	Begründung
(1)	${gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}$ Die Strecke $\overline {PQ_1}$ schneidet nicht die Trägergerade g.	Definition von Halbebene
(2)	$Q_2 \in {gQ_1}^{+}$ $Q_2$ liegt in der Halbebene ${gQ_1}^{+}$	Voraussetzung
(3)	$P,Q_1,Q_2 \in {gQ_1}^{+}$	Schritt (1) und (2)
(4)	Da $\overline {PQ_1}$ (Def. der Halbebene ${gQ_1}^{+}$) und $\overline {Q_1Q_2}$ (nach Voraussetzung) keinen Schnittpunkt mit $g$ haben, kann auch $\overline {PQ_2}$ als dritte Seite des Dreiecks $\overline {PQ_1Q_2}$keinen Schnittpunkt mit g haben (da sonst Widerspruch mit Axiom von Pasch). Die Strecke $\overline {PQ_2}$ schneidet nicht die Trägergerade g.	Schritt (3) und Satz von Pasch
(5)	${gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}$	Schritt (4)
(6)	Es gilt: ${gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}$ und ${gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}$|| Voraussetzung und Schritt (5)
(7)	${gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}$	Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6)
(8)	${gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}$	Die Mengen ${gQ_1}^{+}$ und ${gQ_1}^{-}$sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen ${gQ_2}^{+}$ und ${gQ_2}^{-}$Schritt (7) - Durch Umformung: Ebene$\Epsilon = {gQ_1}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g$ Ebene$\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g$ Da Ebene$\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_2}^{-} \cup g$ gilt somit auch ${gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}$

	Fall II $\ Q_1, Q_2$ und $\ P$ sind kollinear, liegen auf der Geraden $\ h$.
Schritt	Aussage	Begründung
(1)	${gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}$ Die Strecke $\overline {PQ_1}$ schneidet nicht die Trägergerade g.	Definition von Halbebene
(2)	$Q_2 \in {gQ_1}^{+}$ $Q_2$ liegt in der Halbebene ${gQ_1}^{+}$, dadurch gilt: die Strecke $\overline {Q_1Q_2}$ schneidet nicht die Trägergerade g.	Voraussetzung und Definition von Halbebene
(3)	Wenn $\operatorname{koll} \left( Q_1, Q_2, P \right)$ und $\ Q_1, Q_2, P$ paarweise verschieden sind, dann gilt $\operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right)$.|| Aus Voraussetzung kollinear und Satz II.3
(4)	Wenn $\operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right)$, dann ist $\overline {PQ_2} \subset \overline {PQ_1}$ und dadurch gilt $\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}$	Zwischenrelation, Voraussetzung
(5)	Wenn $\operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right)$, dann ist $\overline {PQ_2} \subset \overline {Q_1Q_2}$ und dadurch gilt $\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}$	Zwischenrelation, Voraussetzung
(6)	Wenn $\operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right)$, dann gehören alle Punkte der Strecke $\overline {PQ_2}$ entweder zur Strecke $\overline {Q_1Q_2}$ oder zur Strecke $\overline {PQ_1}$, für die gilt $\overline {Q_1Q_2} \in {gQ_1}^{+}$ oder $\overline {PQ_1} \in {gQ_1}^{+}$ Dadurch gilt $\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}$	Zwischenrelation, Aussagenlogik
(7)	Trivial, bzw. analog zu Fall I

Stimmt das so? Nochmal geändert... --Heinzvaneugen 15:10, 23. Jun. 2010 (UTC)

Analog dazu: Übungsaufgabe 8.1. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass $R \notin {gQ}^{+}$. Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.

Müssen wir unbedingt unterscheiden, ob einmal kollinear und einmal nichtkollinear!? --TimoRR 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC) Oder geht das auch einfachso wie im folgenden eingescannten Beweise!? --TimoRR 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)

Das Axiom von Pasch

Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.
Hans Freudenthal, Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)

Axiom III.2: Das Axiom von Pasch

Gegeben sei ein Dreieck $\overline{ABC}$. Ferner sei $\ g$ eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte $\ A, B, C$ geht. Wenn $\ g$ eine der drei Seiten des Dreiecks $\overline{ABC}$ schneidet, dann schneidet $\ g$ genau eine weitere Seite des Dreiecks $\overline{ABC}$.

Konvexe Punktmengen

Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)

Eine Menge $\ M$ von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ dieser Menge die gesamte Strecke $\overline{AB}$ zu $\ M$ gehört.

Satz IV.2

Halbebenen sind konvexe Punktmengen

Beweis von Satz IV.2

trivial (Der Leser überzeuge sich davon)

Satz IV.3

Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

Beweis von Satz IV.3

Es seien $\ M_1$ und $\ M_2$ zwei konvexe Mengen.

zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen $\ M_1$ und $\ M_2$ ist auch konvex.

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