Lösung von Aufgabe 11.7
Beweisen Sie Satz VII.6a:
Wenn ein Punkt zu den Endpunkten der Strecke jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von .
Versuch 1:
VSS: Punkt P, , , Mittelsenkrechte m
Beh:
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | (VSS) | |
(II) | es existiert ein Punkt | Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt (I) |
(III) | Basiswinkelsatz | |
(IV) | (I), (II), (III), (SWS) | |
(V) | (Def Dreieckskongruenz) (IV) | |
(VI) | (Axiom I.1), (II), (V) |
--> , die Behauptung ist wahr.
qed --Löwenzahn 13:52, 4. Jul. 2010 (UTC)
Welches Winkel sind und und welche Bedingungen müssen erfüllt sein, dass der Basiswinkelsatz überhaupt angewandt werden kann? Schritt 3 muss nochmal überprüft werden! Ist ein kongruenter Winkel überhaupt nötig? Warum nicht der Kongruentssatz SSS?
--Tja??? 13:06, 10. Jul. 2010 (UTC)
Die Winkel und entsprechen den Winkel und . Die Kongruenz dieser Winkel ist nötig, um den Satz über SWS zu beweisen. Wenn du den Satz über SSS beweist, dann brauchst du die Winkel logischer Weise nicht. --Löwenzahn 15:27, 10. Jul. 2010 (UTC)
Versuch 2:
VSS:
- Punkt P, Strecke , es gilt
- Mittelsenkrechte m; für die gilt laut Definition: senkrecht zu und geht durch und es gilt:
Behauptung:
Annahme (indirekter Beweis):
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Das Dreieck ist gleichschenklig | Definition gleichschenkliges Dreieck, da laut VSS |
(II) | Basiswinkelsatz | |
(III) | Es existiert eine Winkelhalbierende w des winkels | Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden): Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende. |
(IV) | Die Winkelhalbierende w und die Strecke schneiden sich in | ... (Skizze? Reicht das als Begründung?)
Nein, Satz: Ist SP+ ein Strahl im Inneren des Winkels <ASB, so schneidet er die Strecke . vgl. Aufgabe Tutorium 12 --Tja??? 13:13, 10. Jul. 2010 (UTC) |
(VI) | SWS: (VSS) (trivial) (III) | |
(VII) | Dreieckskongruenz: (VI) | |
(VIII) | (VII), Existenz und Eindeutigkeit eines Mittelpunktes, da laut (VSS) gilt: | |
(IX) | Dreieckskongruenz: (VI), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel | |
(X) | Widerspruch zu Annahme! | (VIII), (IX), (III), (VSS) |
Einige Schritte sind zum besseren Verständnis in kleinste Einheiten aufgeteilt, deswegen sind es letztlich 10 Beweisschritte. Die Grundidee ist simpel: mit der Winkelhalbierenden erzeugt man zwei kongruente Dreiecke. Analog zur Lösung 1, wo der Knackpunkt der Mittelpunkt der Basis (gleichschenkliges Dreieck) ist, läuft der Beweis ab der Winkelhalbierenden "automatisch" durch.
--Heinzvaneugen 12:19, 10. Jul. 2010 (UTC)