Serie 5 (WS 12 13)
Inhaltsverzeichnis |
weitere Aufgaben zur Inzidenz
„Man muß jederzeit an Stelle von ‚Punkten‘, ‚Geraden‘, ‚Ebenen‘, ‚Tische‘, ‚Stühle‘, ‚Bierseidel‘ sagen
können.“
David Hilbert (1862-1943)
Aufgabe 5.1
Begründen Sie:
- Jedes Modell für die Inzidenzaxiome der Ebene beinhaltet wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte.
- Jedes Modell für die Inzidenzaxiome des Raumes beinhaltet wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte.
Lösung von Aufgabe 5.1_S (WS_12_13)
Aufgabe 5.2
Gegeben seien eine rote Kugel aus Knete (), eine blaue Kugel aus Knete (), eine grüne Kugel aus Knete () und eine schwarze Kugel aus Knete (). Aus einem Mikadospiel wurde jeweils genau ein Repräsentant der folgenden Stäbchenart entnommen: Mikado, Mandarin, Bonzen und Samurai.
Wir betrachten das folgende Modell für die Inzidenz:
- Menge aller Punkte
- Menge aller Geraden
Die Inzidenzrelation interpretieren wir wie folgt: Ein Modellpunkt inziert mit einer Modellgeraden, wenn der Modellpunkt auf die Modellgerade gesteckt wurde.
Wir lassen die Modellpunkte mit den Modellgeraden jetzt wie folgt inzidieren:
- R und G inzidieren mit Mikado
- G und B inzidieren mit Mandarin
- B und R inzidieren mit Bonzen
- R und K inzidieren mit Samurai
- G und K inzidieren mit Kuli
Lösung von Aufgabe 5.2_S (WS_12_13)
Aufgabe 5.3
Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte und gilt:
Wenn und dann gilt
Lösung von Aufgabe 5.3_S (WS_12_13)
Aufgabe 5.4
Beweisen Sie: Zu jeder Strecke existiert genau eine Strecke auf mit und
Lösung von Aufgabe 5.4_S (WS_12_13)
Weitere Aufgabe zur Inzidenz
Aufgabe 5.5
Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4).
Lösung von Aufg. 5.5_S (WS_12_13)