Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar
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Version vom 10. Juni 2010, 20:27 Uhr von Sternchen (Diskussion | Beiträge)
Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung)entstehen. Bitte ergänzen Sie!
Grundbegriffe (undefinierte Begriffe)
- Punkt
- Gerade
- Ebene
Begriffsklärungen
- disjunkt - elementfremd, nicht gleich
- identitiv - antisymmetrisch, gleich
(z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC) - inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung
(z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC) - kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
- komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
- reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
- symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen
(z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC) - transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste
Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch
auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
"bitte überprüft das mal jemand ;-)"
- Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen.
Beispiel: Definition:(disjunkt)
Zwei Mengen und sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.
- Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:
- Nichtfolgerbarkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen
- Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage aus einer Menge von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von aus scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für . In jedem Modell für müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für finden, in dem nicht gilt ...
- Modell für eine Menge von Axiomen
- ...
*m.g.* 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)
Klasseneinteilung
- Es sei eine Menge und eine Menge von Teilmengen von .
- ist eine Klasseneinteilung von , wenn gilt:
- notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
- notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
- notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge .
- Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.
Relationen
Definition: (n-stellige Relation)
- Es seien Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus ist eine stellige Relation.
Definition: (Äquivalenzrelation)
- Eine Relation in einer Menge heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Axiome
- Inzidenzaxiome:
AXIOM I/0
- Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)
- Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
AXIOM I/2
- Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
AXIOM I/3
- Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
Axiom I/4
- Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
Axiom I/5
- Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.
Axiom I/6
- Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
Axiom I/7
- Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
- Abstandsaxiome:
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
- Zu je zwei Punkten und gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl mit .
Axiom II.2:
- Für zwei beliebige Punkte und gilt .
Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
- Für drei beliebige Punkte und gilt:
Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
- Zu jeder nicht negativen reelen Zahl gibt es auf jedem Strahl genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von den Abstand hat.
Definitionen
Definition I/2: (kollinear)
- Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
- Schreibweise: koll(A, B, C, ...) Sollten die Punkte A, B, C einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(A, B, C)
Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)
- Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.
Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)
- Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.
Definition I/5: (Raum)
- Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.
Definition I/6: (komplanar)
- Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)
Definition I/7: (komplanar für Geraden)
- Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
- Schreibweise: komp(g, h)
Definition I/8: (Geradenparallelität)
- Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
- In Zeichen: g||h.
Definition I/9: (windschief )
- Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.
Definition I/10: (parallel für Ebenen)
- Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.
Definition II.1: (Abstand)
- Der Abstand zweier Punkte und ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten und zugeordnet werden kann.
Schreibweise: .
Definition II.2: (Zwischenrelation)
- Ein Punkt liegt zwischen zwei Punkten und , wenn gilt und der Punkt sowohl von als auch von verschieden ist.
- Schreibweise:
Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
- Es seien und zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die und sowie alle Punkte, die zwischen und liegen, enthält, heißt Strecke . Stimmt das? --Sternchen 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)
Definition II.4: (Länge einer Strecke)
- Es seien und zwei verschiedene Punkte. Der Abstand heißt Länge der Strecke . OK? --Sternchen 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)
Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)
Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)
- Wenn ein Punkt der Strecke zu den Endpunkten und jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke .
Sätze
Satz I.1
- Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.
Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)
- Es seien g und h zwei Geraden.
- Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.
Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)
- Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.
Satz I.5:
- Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.
Satz I.6:
- Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
Satz I.7:
- Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.
Satz II.1
- Aus folgt .
Satz II.2:
- Aus folgt .
Satz II.3
- Es sei mit sind paarweise verschieden.
Dann gilt oder oder .
Satz II.4
- Es sei ein Punkt einer Geraden .
Die Teilmengen , und bilden eine Klasseneinteilung der Geraden .
- Es sei ein Punkt einer Geraden .
Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)
- Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.