Geradenspiegelungen als Bewegungen mit genau einer Fixpunktgeraden (2010)
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Satz 4.1
- Jede Geradenspiegelung besitzt genau eine Fixpunktgerade.
Beweis von Satz 4.1
Beweis von Shaun15
Die folgende Beweisführung wurde von User Shaun15 am 02.11. in morgentlicher Frühe geführt. Vielen Dank dafür. (Aus Gründen der Übersicht habe ich ein wenig umformatiert (nur ein paar Zeilenumbrüche) . --*m.g.* 14:21, 2. Nov. 2010 (UTC))
1.Existenz
Es sei g eine Gerade und A, B, C drei voneinander verschiedene Punkte.
Weiter möge gelten A, B nicht Є g und C Є g.
Zz: Bei Spiegelung an g wird P auf P` abgebildet.
Nach Def. Spiegelung wird C auf C` abgebildet und A auf A`.
Da P Є g wird P` ebenfalls auf g abgebildet. Sodass gilt: |AP|=|A`P`|, |CP|=|C`P`| und |AC|=|A`C`|.
Bleibt zz: P = P`.
Dies folgt unmittelbar aus der Abstandstreue von Bewegungen.
Angenommen P` würde nicht mit P zusammenfallen, so gäbe es drei Möglichkeiten.
1. |AP|=|A`P`| aber |CP|≠|C`P`| oder
2. |CP|=|C`P`| aber |AP|≠|A`P`| oder
3. |AP|≠|A`P`| aber |CP|≠|C`P`|.
Jede dieser Möglichkeiten währe ein Wiederspruch zur Abstandstreue.
Daraus folgt. P = P`
Daraus folgt. g ist Fixpunktgerade (demnach gibt es Fixpunktgeraden bei einer Spiegelung)
Ich glaube der Beweis wird ab dem Zeitpunkt hinfällig, wenn man annimmt, dass gilt. Dadurch gilt nach Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden
), dass
=
. --Andreas 15:03, 2. Nov. 2010 (UTC)
2.Bei einer Spiegelung gibt es höchstens eine Fixpunktgerade
Es seien zwei Geraden g und h mit A, B Є g und C, D Є h.
Im Folgenden betrachten wir die Spiegelung an g.
Es gibt drei Fälle:
1. g identisch h: g = h also ein und dieselbe und somit eine Fixpunktgerade.
2. g parallel zu h: nach Def. ist g Mittelsenkrechte von |CC`| und |DD`|. |CD| verschieden von |C`D`|. also ist h keine Fixpunktgerade. Bleibt nur g. Also auch hier nur eine Fixpunktgerade.
3. g ∩ h ={P}: P ist Fixpunkt auf g und auf h. (Bew.1.Existenz) Nach Def. ist g Mittelsenkrechte von |CC`| und |DD`|. Somit ist kein weiterer Punkt von h Fixpunkt. Also bleibt g wieder einzige Fixpunktgerade.
Satz 4.2
- Wenn eine Bewegung
genau eine Fixpunktgerade
hat, so ist sie eine Geradenspiegelung.
- Wenn eine Bewegung
--*m.g.* 13:30, 4. Nov. 2010 (UTC): Der Beweis wird einfacher, wenn man ein Teiproblem auslagert und im Rahmen eines Hilfssatzes bearbeitet:
Lemma 4.1
- Wenn ein Bewegung
die beiden Fixpunkte
und
besitzt, dann ist die Gerade
eine Fixpunktgerade bezüglich
.
- Wenn ein Bewegung
Beweis von Lemma 4.1
Es sei eine Bewegung mit den beiden Fixpunkten
und
.
Beweis von Satz 4.2
Es sei eine Bewegung.
Voraussetzung
hat genau eine Fixpunktgerade. Es sei dieses die Gerade
.
Behauptung
ist eine Geradenspiegelung.
Beweisführung
Wir werden zeigen, dass die Spiegelung an der Geraden
ist.
Entsprechend Definition 2.1 haben wir folgendes zu zeigen:
- Jeder Punkt von
wird durch
auf sich selbst abgebildet:
- Für alle Punkte, die nicht zu
gehören, gilt: Die Gerade
ist die Mittelsenkrechte der Strecke
.
Der Beweis von 1. ergibt sich unmittelbar aus der Voraussetzung, dass bezüglich
eine Fixpunktgerade ist.
Es bleibt zu zeigen:
Für jeden Punkt außerhalb der Geraden
gilt: (*)
ist die Mittelsenkrechte der Strecke
.
Es sei ein beliebiger Punkt, der nicht auf der Geraden
liegt.
Um (*) zu beweisen werden wir wie folgt vorgehen:
- Wir zeigen, dass die Gerade
und die Strecke
einen gemeinsamen Schnittpunkt
haben.
- Wir zeigen, dass dieser Schnittpunkt
der Mittelpunkt der Strecke
ist.
- Wir zeigen, dass die Gerade
senkrecht auf der Geraden
steht.