Pasch
Inhaltsverzeichnis |
Halbebenen und das Axiom von Pasch
Halbebenen
Analogiebetrachtungen
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Was ich nicht verstanden habe ist, warum die Dimension vom Anfangspunkt A gleich eins ist und die Dimension von der Trägergeraden gleich zwei? Soweit ich weiß, hat ein Punkt die Dimension null und eine Gerade die Dimension 1.
Entschuldigung, mein Fehler: Ein Punkt hat natürlich die Dimension 0 und eine Gerade die Dimension 1. --*m.g.* 17:00, 27. Jun. 2010 (UTC)
Zu gQ+: Wenn hier von der geschlossenen Halbebene die Rede ist, fehlen alle Punkte die auf der Trägergeraden liegen und auch dazu gehören...
Zu gQ-: Ausformuliert steht hier: gQ- ist die Menge aller Punkte, für die gilt, dass es KEINEN Schnittpunkt von g und der Strecke PQ (mit Dächle) gibt.. Wenn ich es richtig verstanden habe ist das natürlich quatsch. Voraussetzung ist, dass sie einen Schnittpunkt haben, sonst lägen sie ja in derselben HE wie Q!
--Principella 21:42, 20. Jul. 2010 (UTC)
Definition des Begriffs der Halbebene
Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen
Offene Halbebenen
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene , die nicht auf einer Geraden
dieser Ebene liegen, durch diese Gerade
eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von
bezüglich der Trägergeraden
. Der nicht zu
gehörende Referenzpunkt
bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich
mit
auf derselben Seite liegen, wird mit
bezeichnet, die andere offene Halbebene von
bezüglich
und
mit
.
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte und
einer Ebene
auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden
liegen.
Definition IV.1: (offene Halbebene)
- Es sei
eine Ebene in der die Gerade
liegen möge. Ferner sei
ein Punkt der Ebene
, der nicht zur Geraden
gehört.
Unter den offenen Halbebenenund
bezüglich der Trägergeraden
versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene
ohne die Gerade
:
- Es sei
Halbebenen
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.
Definition IV.2: (Halbebene)
- Es sei
eine Gerade der Ebene
.
und
seien die beiden offenen Halbebenen von
bezüglich
. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von
bezüglich
versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von
bezüglich der Geraden
mit jeweils dieser Geraden
entstehen.
- Es sei
Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: , (geschlossene) Halbebene:
. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass
bzw.
immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
--*m.g.* 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)
Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen
Repräsentantenunabhängigkeit?
Satz IV.1
- Wenn
ein Punkt der Halbebene
ist, dann gilt
und
.
- Wenn
Beweis des Satzes IV.1
Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite)
Voraussetzung:
Behauptung: und
Fallunterscheidung:
Fall I und
sind nicht kollinear.
Fall II und
sind kollinear.
Fall I ![]() ![]() | ||
Schritt | Aussage | Begründung |
(1) | ![]() Die Strecke ![]() |
Definition von Halbebene |
(2) | ![]() ![]() ![]() |
Voraussetzung |
(3) | ![]() |
Schritt (1) und (2) |
(4) | Da ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
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Schritt (3) und Satz von Pasch |
(5) | ![]() |
Schritt (4) |
(6) | Es gilt: ![]()
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(7) | ![]() |
Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6) |
(8) | ![]() |
Die Mengen ![]() ![]() ![]() ![]()
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Fall II ![]() ![]() ![]() | ||
Schritt | Aussage | Begründung |
(1) | ![]() Die Strecke ![]() |
Definition von Halbebene |
(2) | ![]() ![]() ![]() ![]() |
Voraussetzung und Definition von Halbebene |
(3) | Wenn ![]() ![]()
| |
(4) | Wenn ![]() ![]() ![]() |
Zwischenrelation, Voraussetzung |
(5) | Wenn ![]() ![]() ![]() |
Zwischenrelation, Voraussetzung |
(6) | Wenn ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
|
Zwischenrelation, Aussagenlogik |
(7) | Trivial, bzw. analog zu Fall I |
Stimmt das so? Nochmal geändert... --Heinzvaneugen 15:10, 23. Jun. 2010 (UTC)
Analog dazu: Übungsaufgabe 8.1. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass . Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.
Müssen wir unbedingt unterscheiden, ob einmal kollinear und einmal nichtkollinear!? --TimoRR 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)
Oder geht das auch einfachso wie im folgenden eingescannten Beweise!?
--TimoRR 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)
Ich hab ein Problem mit der Voraussetzung: Wenn ich nur sage , dann kann
doch immer noch ein Punkt auf g sein, oder sprechen wir von offenen Halbebenen?
Wenn nicht könnte also
auf g liegen. Der "Referenzpunkt" einer Halbebene darf aber nicht auf der Trägergeraden liegen und so könnte
kein "Referenzpunkt" sein...
Hat vielleicht jemand eine Ahnung???
--Principella 22:31, 20. Jul. 2010 (UTC)
Ja, mir ist auch aufgefallen, dass es da ein bisschen durcheinander geht.
Ich würde mal behaupten, dass es bei dem oberen Beweisschema (Fall 1) unter Schritt 2 (Voraussetzung, siehe Argument von Principella), Schritt 4 (denn P kann ja auch auf g liegen, dann hat die geschlossene Strecke mit g eben doch einen Schnittpunkt) und in der Begründung von Schritt 8 (auf einmal ist von disjunkten offenen Halbebenen die Rede, dabei wurde in Schritt 1 die Halbebene als geschlossen definiert) zu Problemen kommt.
Mein Vorschlag: Ich würde im gesamten Beweis mit offenen Halbebenen arbeiten. g gehört ja entweder zu beiden oder zu keiner der Halbebenen, hat also für deren Unterscheidung keine Relevanz.
--Barbarossa 07:16, 21. Jul. 2010 (UTC)
Ich find du hast Recht, der Beweis sollte nur mit offenen Halbebenen geführt werden, denn nur so hat das mit de Repräsentanten überhaupt einen Sinn = Repräsentanten sind nur Repräsentanten einer offenen Halbebene, denn wenn sie Repräsentant beider Halbebenen sein könnten (im Fall der geschlossenen Halbebenen) wäre das Ganze ja sowieso quatsch... --Principella 11:08, 21. Jul. 2010 (UTC)
Außerdem sprechen wir bei Referenzpunkten einer Halbebene von Repräsentanten einer Äquivalenzklasse und wie wir gelernt haben, müssen die drei Kriterien einer Klasseneiteilung erfüllt sein, d.h. die Teilmengen müssen auch disjunkt sein, was bei geschlossenen Halbebenen nicht gegeben ist.
Ich zitiere: "Ein Beispiel für eine Klasseneinteilung
Die übliche morgendliche Hektik an der „Maier-Vorwiesener“ Grund- und Hauptschule: Frau Schulze-Mackenroth zog es für heute vor, ihr Burnout-Syndrom mit Tannenzäpfle und Ouzo zu pflegen, weshalb sie sich kurz vor knapp bei Rektor Pollenwein telefonisch krank gemeldet hat. In ihrer Grundschulklasse geht es derweilen drunter und drüber. Xulio-Dävid hat seine überforderte, allein erziehende Mutter ausgetrickst und das Methylphenidat nicht genommen. Jetzt lässt er seine ADHS hemmungslos an seinen Klassenkameraden aus.
Zu Hause bei Lehrer Steiner gab es ein weiteres mal Stress wegen der jungen blonden Referendarin, die Steiner betreut. Er flüchtet deshalb und kommt eine Stunde früher. Erleichtert sieht ihn Rektor Gendarm beim Anmarsch auf die Schule. Aus dem Rektoratsfenster ruft er Steiner zu: „Du musst ganz schnell in die Klasse von Xulio-Dävid. Es brennt mal wieder!“
Damit ist eindeutig geklärt, in welche Klasse Herr Steiner gehen muss. Rein formal hätte Rektor Gendarm natürlich auch die Namen von anderen Schülern nennen können, die mit Xulio-Dävid in dieselbe Klasse gehen. An der klassischen Grund- und Hauptschule geht jeder Schüler in genau eine Klasse. Ihre Klassen sind ein Beispiel dafür, was der Mathematiker unter einer Klasseneinteilung versteht."
Das Ganze ist analog zur Unabhängigkeit des Referenzpunktes zweier OFFENER HALBEBENEN zu sehen... --Principella 20:32, 24. Jul. 2010 (UTC)
Das Axiom von Pasch
- Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.
Hans Freudenthal, Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)
- Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.
Axiom III.2: Das Axiom von Pasch
- Gegeben sei ein Dreieck
. Ferner sei
eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte
geht. Wenn
eine der drei Seiten des Dreiecks
schneidet, dann schneidet
genau eine weitere Seite des Dreiecks
.
- Gegeben sei ein Dreieck
Konvexe Punktmengen
Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)
- Eine Menge
von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten
und
dieser Menge die gesamte Strecke
zu
gehört.
- Eine Menge
Satz IV.2
- Halbebenen sind konvexe Punktmengen
Beweis von Satz IV.2
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
Satz IV.3
- Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
Beweis von Satz IV.3
Es seien und
zwei konvexe Mengen.
zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen und
ist auch konvex.