12)

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{AB^{*}}$ mit $\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|$ und $\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}$.

Vor.: Es sei $\overline{AB}$ eine Strecke.

Beh.: $\exists ! \overline{AB*} | \left| AB* \right|= \pi \left| AB \right| \wedge \overline{AB} c \overline{AB*}$

Bew.:Existenz:

Schritt	Begründung
(2) $\exists \ AB^{+} : A,B\in \ AB^{+}$	Def Strahl
(3) $\exists B* : \left| AB* \right| = \pi \left| AB \right| \wedge B* \in \ AB^{+}$	A vom Lineal, (2)
(4) $\left| AB* \right| > \left| AB \right|$	(3),da Abstand $\pi$ mal so groß
(5) $\left| AB \right| + \left| BB* \right| = \left| AB* \right|$	zw. Relation, (4),(3)
(6) zw(A,B,B*)	(5)
$\overline{AB} c\overline{AB*}$	(6),(2),(3)

Bew.:Eindeutigkeit:
Ann.: $\left(\exists \overline{AB*} | \left| AB* \right|= \pi \left| AB \right| \wedge \overline{AB} c \overline{AB*}\right) \wedge \left( \exists \overline{AC*} | \left| AC* \right|= \pi \left| AB \right| \wedge \overline{AB} c \overline{AC*}\right)\wedge B*\neq C*$

Schritt	Begründung
(1) $\exists \ AB^{+} : A,B\in \ AB^{+}$	Def Strahl
(2) $\exists B* : \left| AB* \right| = \pi \left| AB \right| \wedge B* \in \ AB^{+}$	A vom Lineal, (1)
(3) $\exists C* : \left| AC* \right| = \pi \left| AB \right| \wedge C* \in \ AB^{+}$	A vom Lineal, (1)
(4) $\left| AB* \right| = \pi \left| AB \right| \wedge \left| AC* \right| = \pi \left| AB \right|$	(2),(3)
(5) $\left| AB* \right| = \left| AC* \right|$	Rechen in R, (4)
(6) $B*\in \ AB^{+} \wedge C*\in \ AB^{+}$	(2),(3)
(7) zur Ann. ,diese ist zu Verwerfen	A vom Lineal (6),(4)--RicRic 13:32, 4. Dez. 2011 (CET)