Lösung von Aufg. 8.1 (WS 11/12)

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{AB^{*}}$ mit $\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|$ und $\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}$.

Vor.: Es sei $\overline{AB}$ eine Strecke.

Beh.: $\exists ! \overline{AB*} | \left| AB* \right|= \pi \left| AB \right| \wedge \overline{AB} c \overline{AB*}$

Bew.:Existenz:

Schritt	Begründung
(2) $\exists \ AB^{+} : A,B\in \ AB^{+}$	Def Strahl
(3) $\exists B* : \left| AB* \right| = \pi \left| AB \right| \wedge B* \in \ AB^{+}$	A vom Lineal, (2)
(4) $\left| AB* \right| > \left| AB \right|$	(3),da Abstand $\pi$ mal so groß
(5) $\left| AB \right| + \left| BB* \right| = \left| AB* \right|$	zw. Relation, (4),(3)
(6) zw(A,B,B*)	(5)
$\overline{AB} c\overline{AB*}$	(6),(2),(3)

Ein schöner Beweis.
zu Schritt 5, Begründung: Kann ich nicht ganz nachvollziehen - steht das in der Definition Zwischenrelation?--Tutorin Anne 17:29, 4. Dez. 2011 (CET) zu Schritt 6 - Jetzt folgerst du daraus die Zwischenrelation, nutz sie vorher (5) aber schon zur Begründung -mh?--Tutorin Anne 17:29, 4. Dez. 2011 (CET)

• könnte man schritt 5 nicht so belassen und als begründung einfach anführen, dass die punkte kollinear sind und dementsprechend die dreiecksungleichung anführen?--Miriam 20:15, 5. Dez. 2011 (CET)
• Ja, das würde, denke ich, so gehen. Schritt 6 kann dann mit Definition Zwischenrelation begründet werden.--Tutorin Anne 13:39, 14. Dez. 2011 (CET)

Bew.:Eindeutigkeit:
Ann.: $\left(\exists \overline{AB*} | \left| AB* \right|= \pi \left| AB \right| \wedge \overline{AB} c \overline{AB*}\right) \wedge \left( \exists \overline{AC*} | \left| AC* \right|= \pi \left| AB \right| \wedge \overline{AB} c \overline{AC*}\right)\wedge B*\neq C*$

Schritt	Begründung
(1) $\exists \ AB^{+} : A,B\in \ AB^{+}$	Def Strahl
(2) $\exists B* : \left| AB* \right| = \pi \left| AB \right| \wedge B* \in \ AB^{+}$	A vom Lineal, (1)
(3) $\exists C* : \left| AC* \right| = \pi \left| AB \right| \wedge C* \in \ AB^{+}$	A vom Lineal, (1)
(4) $\left| AB* \right| = \pi \left| AB \right| \wedge \left| AC* \right| = \pi \left| AB \right|$	(2),(3)
(5) $\left| AB* \right| = \left| AC* \right|$	Rechen in R, (4)
(6) $B*\in \ AB^{+} \wedge C*\in \ AB^{+}$	(2),(3)
(7) zur Ann. ,diese ist zu Verwerfen	A vom Lineal (6),(4)--RicRic 13:32, 4. Dez. 2011 (CET)

Jetzt haben Sie gezeigt, dass es auf dem Strahl $AB^{+}$ genau eine solche Strecke $\overline{AB^{*}}$ gibt... aber evtl. gibt es ja noch welche, die nicht auf dem Strahl liegen? Was wäre dann?--Spannagel 13:58, 10. Dez. 2011 (CET)

Wieso muss an hier die eindeutigkeit beweisen? Ist es notwendig? Denn durch das Axiom vom Lineal sage ich, dass es nur einen genauen Punkt gibt und somit es genau nur eine Strecke gibt..oder? .> Kann man es daher mit Axiom vom Lineal und Def. Strecke einfach begründen ohne ein eindeutigkeitsbeweis durchzuführen? --Geogeo12 18:11, 27. Jan. 2012 (CET)

Durch das Axiom von Lineal ist die Eindeutigkeit des Puntes auf dem Strahl gegeben, das ist richtig. So brauch man dafür keinen extra Beweis. Allerdings könnte es ja sein, dass es noch einen Punkt gibt, der nicht auf dem Strahl liegt und die Eigenschaften erfüllt. (Siehe Frage von Herr Spannagel.)--Tutorin Anne 17:23, 29. Jan. 2012 (CET)