Serie 5 (WS 12 13)
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weitere Aufgaben zur Inzidenz
„Man muß jederzeit an Stelle von ‚Punkten‘, ‚Geraden‘, ‚Ebenen‘, ‚Tische‘, ‚Stühle‘, ‚Bierseidel‘ sagen
können.“
David Hilbert (1862-1943)
Aufgabe 5.1
Begründen Sie:
- Jedes Modell für die Inzidenzaxiome der Ebene beinhaltet wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte.
- Jedes Modell für die Inzidenzaxiome des Raumes beinhaltet wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte.
Lösung von Aufgabe 5.1_S (WS_12_13)
Aufgabe 5.2
Gegeben seien eine rote Kugel aus Knete (), eine blaue Kugel aus Knete (
), eine grüne Kugel aus Knete (
) und eine schwarze Kugel aus Knete (
). Aus einem Mikadospiel wurde jeweils genau ein Repräsentant der folgenden Stäbchenart entnommen: Mikado, Mandarin, Bonzen und Samurai.
Wir betrachten das folgende Modell für die Inzidenz:
- Menge aller Punkte
- Menge aller Geraden
Die Inzidenzrelation interpretieren wir wie folgt: Ein Modellpunkt inziert mit einer Modellgeraden, wenn der Modellpunkt auf die Modellgerade gesteckt wurde.
Wir lassen die Modellpunkte mit den Modellgeraden jetzt wie folgt inzidieren:
-
und
inzidieren mit
-
und
inzidieren mit
-
und
inzidieren mit
-
und
inzidieren mit
-
und
inzidieren mit
(a) | Fertigen Sie eine Skizze für dieses Modell an bzw. stellen Sie ein Foto von einem real gebauten Modell hier ein. |
(b) | Nennen Sie drei verschiedene Gründe, warum dieses Modell kein Modell für die Inzidenzaxiome des Raumes ist. |
(c) | Ergänzen Sie das Modell Sie derart, dass die Inzidenzaxiome I.1 bis I.7 erfüllt sind. |
(d) | Mit dem von Ihnen ergänzten Modell haben Sie gezeigt, dass das Axiom I.0 unabhängig von den Axiomen I.1 bis I.7 ist. Warum? |
(e) | Beweisen Sie: Wählt man zu unseren Knetekugeln als Modellgeraden Stäbchen eines originalen Mikadospiels derart, dass sich alle Geraden paarweise unterscheiden, so kann man kein Modell für die Inzidenzaxiome des Raumes bauen. |
Lösung von Aufgabe 5.2_S (WS_12_13)
Aufgabe 5.3
Definition
Zwei Geraden sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die beide Geraden vollständig enthält.
Beweisen Sie den folgenden Satz:
Satz *:
- Wenn zwei Geraden
und
genau einen Schnittpunkt haben, so sind sie komplanar.
- Wenn zwei Geraden
Lösung von Aufgabe 5.3_S (WS_12_13)
Aufgabe 5.4
Formulieren Sie Kontraposition und die Umkehrung von Satz * aus der Aufgabe 5.3. Äußern Sie sich zum Wahrheitgehalt dieswer beiden Implikationen.
Lösung von Aufgabe 5.4_S (WS_12_13)
Weitere Aufgabe zur Inzidenz
Aufgabe 5.5
Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4).
Lösung von Aufg. 5.5_S (WS_12_13)