Halbebenen oder das Axiom von Pasch

Halbebenen und das Axiom von Pasch

Halbebenen

Analogiebetrachtungen

Halbgeraden	Halbebenen

Objekt $\ G$, das in Klassen eingeteilt wird
$\ G$ ist eine Gerade	$\ G$ ist eine Gerade
Dimension von $\ G$
Punktmenge	Punktmenge
Objekt $\ T$, das $\ G$ in Klassen einteilt
Halbgerade	Halbebene
Dimension von $\ T$
Teilmenge	Teilmenge
Referenzpunkt $\ Q$ teilt $\ G \setminus_{\{ Q \}}$ in genau zwei Klassen
Klasse 1: Menge aller Punkte $\ P\mathrm{\in }G$ , die mit $\ Q$ bezüglich $\ T$ „auf derselben Seite liegen“
$\ AQ^{+} = \{P| Zw(A,P,Q)\lor Zw(A,Q,P)\}\cup \{A,Q\}$	$\ gQ^{+} = \{P| \neg\exists s \,\{s\}=g\cap\overline {PQ} \}$
Klasse 2: Menge aller Punkte $P\mathrm{\in }G$, die bezüglich $\ T$ nicht auf der Seite von $\ Q$liegen.
$\ AQ^{-} = \{P| Zw(P,A,Q)\}\cup \{A\}$	$\ gQ^{-} = \{P| \exists s \,\{s\}=g\cap\overline {PQ} \}$

BITTE ÜBERPRÜFEN --TimoRR 20:14, 16. Jun. 2010 (UTC)

Bemerkungen zu den Analogieüberlegungen --*m.g.* 19:18, 17. Jun. 2010 (UTC)

1. Wird in beiden Fällen wirklich eine Gerade in Klassen eingeteilt? Erhalten wir eine Halbebene dadurch, dass wir eine Gerade in Klassen einteilen?
2. Dimension: Gemeint ist, welche Dimension das Objekt hat, welches in Klassen bzw. Teilmengen eingeteilt wird. Ein räumliches Objekt, wie etwa ein Würfel hat die Dimension drei, ein Quadrat liegt vollständig in einer Ebene und ist deshalb ein zweidimensionales Objekt. Eine Strecke liegt auf einer Geraden und ist deshalb ein eindimensionales geometrisches Objekt. Wir haben es bei unseren beiden Begriffen Halbgerade und Halbebene einmal mit einem 1D- und einmal mit einem 2D-Begriff zu tun. Den Begriff der Dimension verwenden wir hier intuitiv, ohne ihn definiert zu haben.
3. Halbgerade: Eine Gerade wird in zwei Halbgeraden eingeteilt. Was für ein Objekt bewirkt diese Einteilung? Eine Halbgerade oder nicht doch eher ein Punkt, der Anfangspunkt der beiden Halbgeraden? Eine Ebene läßt ich auf unendlich viele Arten in genau zwei Halbenen zerlegen. Was für ein Objekt ist verantwortlich dafür, dass wir eine Einteilung in zwei spezielle Halbebenen bekommen? Was ist das Analogon zum Anfangspunkt zweier entgegengesetzter Strahlen bezüglich der Einteilung einer Ebene in zwei Halbebene, deren Vereinigungsmenge wieder die Ausgangebene ergibt?
4. Die Definitionen zu den beiden Halbgeraden $\ AQ^+$ und $\ AQ^-$ sind korrekt. Die Analogie zum problem der Halbebenen wird aber besser verdeutlich, wenn man diese Definitionen anders formuliert und sich dabei explizit auf die Strecke $\overline{BQ}$ bezieht. Die Idee, Halbgeraden über die Strecke $\overline{PQ}$ zu definieren lag der Übungsaufgabe 7.4 Lösung_von_Aufgabe_7.4 zugrunde. Die Definition habe ich zu Beginn meiner Vorlesung vom 11.06. erläutert.
5. Die Definition der Halbebenen ist prinzipiell richtig. Nach stillschweigender Konvention kennzeichnen wir jedoch Punkte durch große lateinische Buchstaben. Also nicht $\ gQ^{-}:= \{P| \exists s \,\{s\}=g\cap\overline {PQ} \}$ sondern $\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

Definition des Begriffs der Halbebene

Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen

Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene $\Epsilon$ gehört u.a., dass jede Gerade $\ g$, die zu unserer jeweiligen Ebene $\Epsilon$ gehört, diese in zwei Hälften bzw. zwei Seiten einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden Seiten von $\Epsilon$ bezüglich der Geraden $\ g$ verwenden wir einen Punkt $\ Q \in \Epsilon$, welcher nicht zu $\ g$ gehören sollte.
Zu der einen Hälfte von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ gehören alle die Punkte aus $\Epsilon \setminus g$, die mit $\ Q$ auf derselben Seite von $\ g$ liegen. Alle anderen Punkte aus $\Epsilon \setminus g$ gehören zur anderen Seite von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$.

Offene Halbebenen

Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene $\ \Epsilon$, die nicht auf einer Geraden $\ g$ dieser Ebene liegen, durch diese Gerade $\ g$ eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich der Trägergeraden $\ g$. Der nicht zu $\ g$ gehörende Referenzpunkt $\ Q \in \Epsilon$ bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich $\ g$ mit $\ Q$ auf derselben Seite liegen, wird mit $\ gQ^{+}$ bezeichnet, die andere offene Halbebene von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ und $\ Q$ mit $\ gQ^{-}$.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was es denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte $\ P$ und $\ Q$ einer Ebene $\ \Epsilon$ auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden $\ g$ liegen.

Definition IV.1: (offene Halbebene)

Es sei $\ \Epsilon$ eine Ebene in der die Gerade $\ g$ liegen möge. Ferner sei $\ Q$ ein Punkt der Ebene $\ \Epsilon$, der nicht zur Geraden $\ g$ gehört.
Unter den offenen Halbebenen $\ gQ^{+}$ und $\ gQ^{-}$ bezüglich der Trägergeraden $\ g$ versteht man die folgenden Punktmengen:

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

Ich bin mir nicht sicher ob ich hiermit richtig liege, aber ist bei gQ- nach dieser Definition nicht auch die Punktmenge der Geraden g mit dabei, denn wenn P auf g liegen würde, gäbe es auch eine Schnittpunkt S, mit S=P oder? gQ- wäre also die Definition einer geschlossenen Halbebene..

--Principella 20:31, 21. Jun. 2010 (UTC)

Hhm - Gute Frage =) Ich denke, wir haben schon von vornherein per Definition ausgeschlossen, dass P ein Element von g ist, sondern in einer Ebene entweder mit Q oder in der anderen von Q liegt... Vlt sollten wir in der Definition IV.1 das ergänzen, dass Q UND P in der Ebene E liegen, aber nicht zur Geraden g gehören!?? Erst bei der (geschlossenen) Halbebene wird die Menge aller Punkte von g mit gQ+ oder gQ- vereint. Bei der offenen Halbebene gibt es dann keine Vereinigung, sondern nur den einen Schnittpunkt mit g, um zu zeigen, dass es eine andere Ebene ist, nämlich gQ- (also g ohne den Punkt Q)... --TimoRR 21:11, 21. Jun. 2010 (UTC)

• m.g.*, können Sie uns Helfen und das klären ;-)

Ich glaub "P nicht Element g" muss einfach mit in die Definition rein, hab aber keine Ahnung wie das geht... --Principella 21:22, 21. Jun. 2010 (UTC)

Halbebenen

Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

Definition IV.2: (Halbebene)

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

--Principella 20:30, 21. Jun. 2010 (UTC)

Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen

Repräsentantenunabhängigkeit?

Satz IV.1

Wenn $\ Q_2$ ein Punkt der Halbebene $\ {gQ_1}^{+}$ ist, dann gilt $\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}$ und $\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}$.

Beweis des Satzes IV.1

Fehlanzeige

Das Axiom von Pasch

Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.
Hans Freudenthal, Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)

Axiom III.2: Das Axiom von Pasch

Gegeben sei ein Dreieck $\overline{ABC}$. Ferner sei $\ g$ eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte $\ A, B, C$ geht. Wenn $\ g$ eine der drei Seiten des Dreiecks $\overline{ABC}$ schneidet, dann schneidet $\ g$ genau eine weitere Seite des Dreiecks $\overline{ABC}$.

Konvexe Punktmengen

Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)

Eine Menge $\ M$ von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ dieser Menge die gesamte Strecke $\overline{AB}$ zu $\ M$ gehört.

Satz IV.2

Halbebenen sind konvexe Punktmengen

Beweis von Satz IV.2

trivial (Der Leser überzeuge sich davon)

Satz IV.3

Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

Beweis von Satz IV.3

Es seien $\ M_1$ und $\ M_2$ zwei konvexe Mengen.

zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen $\ M_1$ und $\ M_2$ ist auch konvex.

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