Halbebenen oder das Axiom von Pasch
Inhaltsverzeichnis |
Halbebenen und das Axiom von Pasch
Halbebenen
Analogiebetrachtungen
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ist eine Gerade | ist eine Ebene |
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eindimensional | zweidimensional |
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Anfangspunkt | Trägergerade |
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eindimensional | zweidimensional |
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--*m.g.* 20:00, 23. Jun. 2010 (UTC)
Definition des Begriffs der Halbebene
Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen
Offene Halbebenen
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene , die nicht auf einer Geraden dieser Ebene liegen, durch diese Gerade eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von bezüglich der Trägergeraden . Der nicht zu gehörende Referenzpunkt bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich mit auf derselben Seite liegen, wird mit bezeichnet, die andere offene Halbebene von bezüglich und mit .
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte und einer Ebene auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden liegen.
Definition IV.1: (offene Halbebene)
- Es sei eine Ebene in der die Gerade liegen möge. Ferner sei ein Punkt der Ebene , der nicht zur Geraden gehört.
Unter den offenen Halbebenen und bezüglich der Trägergeraden versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene ohne die Gerade :
- Es sei eine Ebene in der die Gerade liegen möge. Ferner sei ein Punkt der Ebene , der nicht zur Geraden gehört.
Danke für Ihren Diskussionsbeitrag, Herr *m.g.*, ich wollte nochmal fragen, ob es nur bei gQ- ausreicht die Trägergeraden g mit rauszunehmen, oder ob man das auch noch bei gQ+ dazuschreiben muss/soll/darf!?? --TimoRR 18:46, 24. Jun. 2010 (UTC)
--*m.g.* 21:27, 23. Jun. 2010 (UTC)
Halbebenen
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.
Definition IV.2: (Halbebene)
- Es sei eine Gerade der Ebene . und seien die beiden offenen Halbebenen von bezüglich . Unter den (geschlossenen) Halbebenen von bezüglich versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von bezüglich der Geraden mit jeweils dieser Geraden entstehen.
allright!? --TimoRR 18:50, 24. Jun. 2010 (UTC)
Vereinigt mit g ist bei gQ- überflüssig, ist doch eh mit dabei... --Principella 18:59, 24. Jun. 2010 (UTC)
Ein Schnittpunkt entsteht bei dem Schnitt von einer Strecken und der Geraden g. Das heißt dann, dass die Menge von Geraden g automatisch dabei ist, wenn g irgendwas schneidet und dabei Schnittpunkte entstehen!? (Sorry, steh grad auf dem Schlauch)--TimoRR 19:23, 24. Jun. 2010 (UTC)
Wenn ich alle Punkte nehme, für die gilt dass wenn ich sie mit Q verbinde ein Schnittpunkt S entsteht, dann habe ich die komplette Halbebene, d.h. auch alle Punkte von g sind mit dabei, denn angenommen P liegt auf g, dann ist ja wieder P=S und es gibt einen Schnittpunkt. Wenn ich diese Menge mit g vereinige ist das nicht schlimm, ich hab ja trotzdem alle Punkte, aber ich brauch sie eigentlich nicht…
Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: , (geschlossene) Halbebene: . Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass bzw. immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
--*m.g.* 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)
Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen
Repräsentantenunabhängigkeit?
Satz IV.1
- Wenn ein Punkt der Halbebene ist, dann gilt und .
Beweis des Satzes IV.1
Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite)
Voraussetzung:
Behauptung: und
Fallunterscheidung:
Fall I und sind nicht kollinear.
Fall II und sind kollinear.
Fall I und sind nicht kollinear. | ||
Schritt | Aussage | Begründung |
(1) | Die Strecke schneidet nicht die Trägergerade g. |
Definition von Halbebene |
(2) | liegt in der Halbebene |
Voraussetzung |
(3) | Schritt (1) und (2) | |
(4) | Da (Def. der Halbebene ) und (nach Voraussetzung) keinen Schnittpunkt mit haben, kann auch als dritte Seite des Dreiecks keinen Schnittpunkt mit g haben (da sonst Widerspruch mit Axiom von Pasch).
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Schritt (3) und Satz von Pasch |
(5) | Schritt (4) | |
(6) | Es gilt: und
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(7) | Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6) | |
(8) | Die Mengen und sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen und Schritt (7) - Durch Umformung:
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Fall II und sind kollinear, liegen auf der Geraden . | ||
Schritt | Aussage | Begründung |
(1) | Die Strecke schneidet nicht die Trägergerade g. |
Definition von Halbebene |
(2) | liegt in der Halbebene , dadurch gilt: die Strecke schneidet nicht die Trägergerade g. |
Voraussetzung und Definition von Halbebene |
(3) | Wenn und paarweise verschieden sind, dann gilt
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(4) | Wenn , dann ist und dadurch gilt | Zwischenrelation, Voraussetzung |
(5) | Wenn , dann ist und dadurch gilt | Zwischenrelation, Voraussetzung |
(6) | Wenn , dann gehören alle Punkte der Strecke entweder zur Strecke oder zur Strecke , für die gilt oder
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Zwischenrelation, Aussagenlogik |
(7) | Trivial, bzw. analog zu Fall I |
Stimmt das so? Nochmal geändert... --Heinzvaneugen 15:10, 23. Jun. 2010 (UTC)
Analog dazu: Übungsaufgabe 8.1. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass . Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.
Das Axiom von Pasch
- Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.
Hans Freudenthal, Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)
- Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.
Axiom III.2: Das Axiom von Pasch
- Gegeben sei ein Dreieck . Ferner sei eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte geht. Wenn eine der drei Seiten des Dreiecks schneidet, dann schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks .
Konvexe Punktmengen
Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)
- Eine Menge von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten und dieser Menge die gesamte Strecke zu gehört.
Satz IV.2
- Halbebenen sind konvexe Punktmengen
Beweis von Satz IV.2
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
Satz IV.3
- Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
Beweis von Satz IV.3
Es seien und zwei konvexe Mengen.
zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen und ist auch konvex.
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