Serie 8 SoSe 2013

Aufgabe 8.01 Wenn der Mathematiker von einer Fahne spricht, dann meint er ein Element aus der Menge $\mathbb{F}$, die aus allen Tripeln $(A, AB, AB,Q^+)$ mit besteht. Aus was für drei geometrischen Objekten besteht jede Fahne? Ikonisieren Sie den Begriff der Fahne. Erläutern Sie wie der Begriff der Fahne auf enaktiver Ebene mit Schülern der SI erarbeitet werden könnte. Lösung von Aufgabe 8.01 S SoSe 13 Aufgabe 8.02 Die Definition des Begriffs entsprechend Aufgabe 8.01 entspricht der üblichen Vorstellung der Mathematiker von einer Fahne. In der Übung am Donnerstag (13.06.) hatte ich den Begriff unzulässig modifiziert. Hier hatten wir den Begriff der Fahne der üblichen Vorstellung einer Fahne angepasst: Gerade mit einer "an ihr befestigten" "Viertelebene". Wir wollen diesen Begriff der ab sofort offiziell als Heidelberger Übungsfahne bezeichnen. Hier eine Ikoniserung des Begriffs Heidelberger Übungsfahne. Die Darstellung ist so zu verstehen, dass die Vereinigungsmenge aller grafisch dargestellten Objekte eine Heidelberger Übungsfahne darstellt. Die Schraffur meint dabei den Teil einer Ebene. Formulieren Sie eine Definition des Begriffs Heidelberger Übungsfahne. Mit der Formulierung dieser Aufgabe zeigt der Autor (*m.g.*) mangelnde mathematikdidaktische Kenntnisse. Warum? Insbesondere ist die ikonische Darstellung der Heidelberger Übungsfahne bezüglich der Aufgabenstellung ungünstig. Warum? Lösung von Aufgabe 8.02 S SoSe 13 Aufgabe 8.03 Was haben Halbgeraden und Halbebenen gemeinsam? Ergänzen Sie: Eine Gerade wird durch einen ............ in zwei ............ eingeteilt. Eine Ebene wird durch eine ............ in zwei ............ eingeteilt. Eine Gerade ist ein .....dimensionales Objekt. Eine Ebene ist ein .....dimensionales Objekt. Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt. Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt. Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension ..... . Lösung von Aufgabe 8.03 S SoSe 13 Aufgabe 8.04 Beweisen Sie mittels eines direkten Beweises: Wenn zwei Mengen $M_1$ und $M_2$ konvex sind, dann ist auch ihre Schnittmenge konvex. Lösung von Aufgabe 8.04 S SoSe 13 Aufgabe 8.05 Beweisen Sie mittels eines indirekten Beweises: Wenn zwei Mengen $M_1$ und $M_2$ konvex sind, dann ist auch ihre Schnittmenge konvex. Lösung von Aufgabe 8.05 S SoSe 13 Aufgabe 8.06 Formulieren Sie die Umkehrung der Implikation aus Aufgabe 8.05 und untersuchen Sie den Wahrheitswert dieser Umkehrung Lösung von Aufgabe 8.06 S SoSe 13 Aufgabe 8.07 Es sei $\overline{ABCD}$ ein konvexes Viereck. Definieren Sie den Begriff Inneres von $\overline{ABCD}$ mittels des Begriffs Vereinigungsmenge. Lösung von Aufgabe 8.07 S SoSe 13 Aufgabe 8.08 Begründen sie, warum die folgenden Implikationen keine Sätze sind: Die Vereinigungsmenge zweier konvexer Mengen ist konvex. Die Schnittmenge zweier nicht konvexer Mengen ist nicht konvex. Lösung von Aufgabe 8.08 S SoSe 13 Aufgabe 8.09 Definieren Sie den Begriff regelmäßiges n-Eck. Hinweis: Der Begriff des Kreises hilft. Lösung von Aufgabe 8.09 S SoSe 13 Aufgabe 8.10 Es sei $g$ eine Gerade der Ebene $\varepsilon$. Ferner seien $A, B, C$ drei nicht kollineare Punkte der Ebene $\varepsilon$. Keiner dieser drei Punkte möge zu $g$ gehören. Es gelte: $B \in gA^+$. Beweisen Sie: (a) $C \in gA^+ \Rightarrow C \in gB^+$ (b) $C \in gA^- \Rightarrow C \in gB^-$ Lösung von Aufgabe 8.10 S SoSe 13