Geradenspiegelungen
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Konstruktion des Bildes eines Punktes
bei einer Spiegelung an der Geraden ![\ g](/images/math/4/d/5/4d5f9a9c0c66d9c6a2d8c9bcb870360b.png)
Übungsaufgabe
Es sei ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden
dieser Ebene gehört.
Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von
bei der Spiegelung an
. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.
Nr. | Beschreibung des Schrittes | Begründung der Korrektheit des Schrittes |
---|---|---|
1. | Wir fällen das Lot von ![]() ![]() ![]() ![]() |
So bestimmen wir die kürzeste Strecke zwischen dem Punkt ![]() ![]() ![]() ![]() |
2. | Nun tragen wir die Strecke ![]() ![]() |
Durch das Abtragen der Strecke bekommen wir auf beiden Seiten derHalbgeraden den gleichen Abstand vond er Geraden ![]() |
3. | Den entstandenen Punkt bezeichnen wir mit ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Definition des Begriffs
Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden
)
- Es sei
eine Gerade. Unter der Geradenspiegelung
versteht man eine ....
- Es sei
- Es sei
eine Gerade und P ein Punkkt der Ebene. Unter der Geradenspiegelung
versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich:
- Es sei
(1) Für den Fall dass P
: P = P'
(2) Für den fall dass P
: Die Gerade
ist Mittelsenkrechte der Strecke zwischen dem Punkt P und seinem Bildpunkt P'
Alternativ?
Es seien eine Gerade g und zwei Punkte A, A' g. s ist genau dann Spiegelgerade des Punktes A, wenn gilt: s ist Mittelsenkrechte der Strecke AA'[Balken drüber].
Bemerkungen --*m.g.* 15:49, 1. Nov. 2010 (UTC):
"Balken drüber": \overline{AA'}:
Handelt es sich wirklich um eine Definition des Begriffs Geradenspiegelung
oder doch eher um eine Definition des Begriffs Spiegelgerade?
Beide hängen natürlich eng miteinander zusammen, aber wenn Geradenspiegelung zu definieren ist ... .
Macht es Sinn einem Punkt seine Spiegelgerade zuzuordnen ("s ist genau dann Spiegelgerade des Punktes A")
Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung
Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)
- Jede Geradenspiegelung
ist eine abstandserhaltende Abbildung.
- Jede Geradenspiegelung
Beweis:
Es seien ,
zwei Punkte, die an einer Geraden
auf ihre Bilder
und
gespiegelt werden.
Wir unterscheiden drei Fälle:
1.
Der Beweis ist trivial, da es sich bei dieser speziellen Geradenspiegelung um die Identität handelt.
2.
,
Den Schnittpunkt von mit
bezeichnen wir mit
Nr. | Beschreibung des Schrittes | Begründung der Korrektheit des Schrittes |
---|---|---|
1. | ![]() ![]() |
Definition Geradenspiegelung |
2. | ![]() |
![]() ![]() |
3. | ![]() |
Es handelt sich um dieselbe Gerade. |
4. | ![]() |
![]() ![]() |
5. | ![]() ![]() |
2. + 3. + 4. + SWS |
6. | ![]() |
5. |
|}
3.
Den Schnittpunkt von mit
bezeichnen wir mit
Den Schnittpunkt von mit
bezeichnen wir mit
Nr. | Beschreibung des Schrittes | Begründung der Korrektheit des Schrittes |
---|---|---|
1. | ![]() |
![]() ![]() |
2. | ![]() ![]() |
1. |
3. | ![]() ![]() |
Wechselwinkelsatz, da ![]() |
4. | ![]() ![]() |
2. + 3. |
5. | ![]() |
![]() ![]() |
6. | ![]() |
2. |
7. | ![]() |
4. + 5. + 6. + SWS |
8. | ![]() |
7. |
Ergänzung: Für den Fall, das A und B nicht in der selben Halbebene bezüglich der Geraden s liegt, läuft der Beweis analog, nur dass die Winkel anderst benannt werden müssen.
Müsste es bei Fall 3 Schritt 5 nicht ist Mittelsenkrechte von
heißen oder bezieht man hier Fall 2 mit ein, sodass der Beweis formal und logisch richtig ist? Ja
ist korrekt, habs geändert--Andreas 16:02, 30. Okt. 2010 (UTC)