Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11)

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: $\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c$ .
b) Welche Eigenschaft der Relation $\|$ auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?

Ich mache mal einen Anfang:
Vor.: a, b und c sind drei paarweise versch. Geraden
Beh.: $\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c$ .

Annahme: $\ a \| b \land b \| c \Rightarrow$ a nicht parallel zu c

Beweisschritt	Begründung
1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden	Vor.
2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt (welche Gerade ist hier gemeint?)	Axiom I/0
3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist	2), Parallelenaxiom
4) eine weitere Gerade geht durch A und ist nicht parallel zu a (hm... ich verstehe die Beweisführung bzw. dieses Argument an dieser Stelle nicht und warum ist das ein Widerspruch zur Annahme? Vllt. wäre eine Skizze an dieser Stelle nicht schlecht.)--Tutor Andreas 13:42, 6. Mai 2011 (CEST)	Def. Schnittpkt von Geraden
	Widerspruch zur Vor.

Voraussetzung: siehe oben, a||b, b||c
Behauptung: a ist nicht parralel zu c
Annahme: sei B ε b und B ε c
zu zeigen: b = c

Nummer	Beweisschritt	Begründung
(1)	$\ a \| b$	Vor.
(2)	$\ b \| c$	Vor.
(3)	B ε b	Annahme
(4)	B ε c	Annahme
(5)	b = c	Parallelaxiom, Wiederspruch zur Annahme, dass a, b, c paarweis verschiedene Geraden sind

somit wäre aus meiner sicht bewiesen, dass a auch parallel zu c ist. Falls dieser Beweis so stimmt: Wie gehe ich mit folgenden Punkten um:

Das hab ich geschrieben	das gefällt mir daran überhaupt nicht	so wäre es richtig
zu zeigen: b = c	das kann irgendwie nicht sein, das weiß ich ja vorher noch nicht, dass ich das zeigen möchte oder? aus diesem grunde mus es eigentlich etwas anderes geben, was ich zeigen möchte
Annahme: sei B ε b und B ε c	ich glaube, das gehört da oben gar nicht hin, sondern erst in die Beweistabelle. Wenn ich das aber NUR in die Beweistabelle schreibe, dann kann ich ja gar nix in die Spalte der Begründung schreiben, außer dass ich das so festgelegt habe, weil ich so lustig bin und das für den weiteren Verlauf brauche - das scheint mir aber wenig professionell

Dankeschön --Flo60 22:05, 7. Mai 2011 (CEST)

b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --Flo 21 15:30, 5. Mai 2011 (CEST) Diese Eigenschaft, dass wenn a zu b und b zu c in Relation steht dann auch a zu c in Relation stehtnennt man Transitivität.Klemens 19:36, 5. Mai 2011 (CEST)