Übung Aufgaben 8 (SoSe 11)

Aufgaben zur Inzidenz

Aufgabe 8.1

Beweisen Sie: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Lösung von Aufg. 8.1 (SoSe_11)

Aufgabe 8.2

Es sei $\ g$ eine Gerade und $\ P$ ein Punkt, der nicht zu $\ g$ gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene $\ \Epsilon$, die sowohl alle Punkte von $\ g$ als auch den Punkt $\ P$ enthält.

Lösung von Aufg. 8.2 (SoSe_11)

Aufgabe 8.3

Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung den Satz aus Aufgabe 7.6).

Lösung von Aufg. 8.3 (SoSe_11)

Aufgabe 8.4

Das Axiom I.7 sagt aus:

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Es sei $\ \Epsilon$ eine beliebige Ebene und $\ A, B, C, D$ die vier Punkte entsprechend Axiom I.7. Klassifizieren Sie alle Fälle die bezüglich der Inzidenz der Punkte $\ A, B, C, D$ mit $\ \Epsilon$ auftreten können.

Lösung von Aufg. 8.4 (SoSe_11)

Aufgaben zum Abstand

Aufgabe 8.5

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $\ A, B$ und $\ C$ ein und derselben Geraden $\ g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.

Lösung von Aufg. 8.5 (SoSe_11)

Aufgabe 8.6

Eine informelle Definition:

Definition: Halbgerade $AB^+$

Gegeben seien zwei verschiedene Punkte $\ A$ und $\ B$. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden $\ AB^+$ versteht man die Strecke $\overline{AB}$ vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man $\overline{AB}$ über $\ B$ hinaus verlängert.

Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade $\ AB^+$.

Lösung von Aufg. 8.6 (SoSe_11)

Aufgabe 8.7

Definition: Halbgerade $AB^-$

Gegeben seien zwei nicht identische Punkte $\ A$ und $\ B$. Unter $\ AB^-$ wollen wir die Menge aller Punkte $\ P$ verstehen, die man erhält, wenn man $\overline{AB}$ über $\ A$ hinaus verlängert.

Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte $\ P$ an.

Lösung von Aufg. 8.7 (SoSe_11) geht auch: OA+:= {P|PE P, Zw(OAP)v Zw(OPA0)v P=A}  ?