12)

Beweisen Sie auf der Grundlage der Definition aus Aufgabe 3.3:
Die Winkelhalbierende eines Winkels ist die Menge aller Punkte, die im Inneren des Winkels liegen und deren Abstände von den beiden Schenkeln des Winkels jeweils gleich sind.
Anmerkung:

• Der Abstand eines Punktes P auf eine Gerade g ist die Länge des Lotes von P auf g.
• Der Beweis geht in zwei Schritten: Sie müssen erstens zeigen, dass jeder Punkt der Winkelhalbierenden (entspr. Def. Aufg. 3.3) von den beiden Schenkeln den gleichen Abstand hat und zweitens, dass jeder Punkt, der von den beiden Schenkeln den gleichen Abstand hat und im Inneren des Winkels liegt, zur Winkelhalbierenden (entspr. Def. Aufg. 3.3) gehört.
• Die Beweise lassen sich mit Hilfe der Kongruenzsätze führen, die Sie aus der Schule bereits kennen sollten.

Voraussetzung:

$\angle w,p = \angle w,q$

$\angle p,a = \angle q,b$ = 90°

$\overline{SA} = \overline{,SA}$

Behauptung1:

$a \tilde {=} b$

Beweis: $\angle p,c = \angle c,q \wedge \angle p,a = \angle b,q \wedge \overline{AS} = \overline{AS \Rightarrow } \triangle SAB \tilde {=} \triangle SCA \Rightarrow a \tilde {=} b$ Kongruenzsatz WSW

• Durch die Unterstützung mit dem Bild werden die Bezeichnungen zwar deutlich, aber warum wird der Strahl p mit dem Strahl c ersetzt? Ich denke, dass dies vllt. zu Verwirrungen führen kann.
  
• Wird hier wirklich der Kongruenzsatz WSW benutzt?
• Die Begründungen für die einzelnen Schritte sind hier zwar relativ naheliegend, sollten aber trotzdem, der Vollständigheit halber, genannt werden. --Tutor Andreas 15:02, 31. Okt. 2011 (CET)

Behauptung2:

$\forall A :\left| Ap \right| = \left| Aq \right| \Leftrightarrow A\in w$

--RicRic