Übung Aufgaben 5 S (SoSe 12)

Aufgaben zum Abstand

Aufgabe 5.1

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $\ A, B$ und $\ C$ ein und derselben Geraden $\ g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.

Lösung von Aufgabe 5.1_S (SoSe_12)

Aufgabe 5.2

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte $\ A, B$ und $\ C$ gilt:
$\operatorname Zw (A, B, C)$ $\Rightarrow$ $\overline{AB}$ $\subset$ $\overline{AC}$

Tipps zu Aufgabe 5.2 (SoSe_12)

Lösung von Aufgabe 5.2_S (SoSe_12) Vorauss.: A=B=C=A und koll(A,B,C) Beh.: O.B.d.A. Zw(A,B,C)

Beweis der Existenz: Annahme: nicht Zw(A,B,C) 1. d.h. $\overline{AB} + \overline{BC} \neq \overline{AC}$

  (da Annahme und Kontraposition der Zwischenrelation)

2. nkoll(A,B,C)

  (da Kontraposition der Dreiecksungleichung: koll(A,B,C)$\Rightarrow$ O.B.d.A. $\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$ )

Widerspruch zur Voraussetzung

Beweis der Eindeutigkeit: Vorauss.: Zw(A,B,C) Beh.: $\neg Zw (A,C,B) und \neg Zw(B,A,C)$ Annahme: Zw(A,C,B) 1.$\overline{AC} + \overline{CB} = \overline{AB}$

 (da Annahme)

2. d.h. $\overline{AC} < \overline{AB} und \overline{CB} < \overline{AB}$ Widerspruch zur Annahme, da dort gefordert ist: $\overline{AB} < \overline{AC}$

--Wokkow 12:17, 20. Mai 2012 (CEST)

Aufgabe 5.3

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte $\ A, B$ und $\ C$ gilt:
Wenn $C \in \ AB^{+}$ und $\left| AB \right| < \left| AC \right|$ dann gilt $\operatorname Zw (A, B, C)$

Lösung von Aufgabe 5.3_S (SoSe_12)

Aufgabe 5.4

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{AC}$ auf $\ AB^{+}$ mit $\left| AB \right| = \frac{1}{4} \left| AC \right|$ und $\overline{AB}$ $\subset$ $\overline{AC}$
Tipps zu Aufgabe 5.4 (SoSe_12)

Lösung von Aufgabe 5.4_S (SoSe_12)

Weitere Aufgabe zur Inzidenz

Aufgabe 5.5

Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4).

Lösung von Aufg. 5.5_S (SoSe_12)