Übung Aufgaben 8

Aufgabe 8.1

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{AB^{*}}$ mit $\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|$ und $\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}$.

Lösung von Aufg. 8.1

Aufgabe 8.2

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{AB^{*}}$ mit $\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right|$ und $\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}$.

Lösung von Aufg. 8.2

Aufgabe 8.3

Der Punkt $\ B$ möge die Strecke $\overline{AC}$ derart in die Teilstrecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ teilen, dass $\left| AB \right| > \left| BC \right|$ gilt. Beweisen Sie:
Wenn $\frac{ \left| AC \right| }{\left| AB \right| } = \frac{\left| AB \right| }{\left| BC \right| }$, dann $\frac{ \left| AC \right| }{\left| AB \right|} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Lösung von Aufg. 8.3

Aufgabe 8.4

Definieren Sie noch einmal die Begriffe Halbgerade $\ AQ^{+}$ und $\ AQ^{-}$. In diesen neuen Definitionen dürfen Sie die Zwischenrelation nicht explizit verwenden. Beweisen Sie dann, dass Ihre neuen Definitionen zur | Definition II.3 äquivalent sind.

Lösung von Aufg. 8.4

Aufgabe 8.5

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

Lösung von Aufg. 8.5

Aufgabe 8.6

Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 8.5.

Lösung von Aufg. 8.6

Aufgabe 8.7

Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass die Umkehrung der Implikation aus Aufgabe 8.5 nicht wahr ist.

Lösung von Aufg. 8.7