Übungsaufgabe zur Vorbereitung auf die dritte Sitzung: Unterschied zwischen den Versionen

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# Berechnen Sie die Streckfaktoren <math>\ k_1, k_2, k_3</math>. Begründen Sie Ihre Überlegungen.
 
# Berechnen Sie die Streckfaktoren <math>\ k_1, k_2, k_3</math>. Begründen Sie Ihre Überlegungen.
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# Berechnen Sie den Streckfaktor <math>\ k</math> der Drehstreckung, die durch die Nacheinanderausführung <math>\delta_3 \circ \delta_2 \circ \delta_1</math> entsteht (erst <math>\delta_1</math>, dann <math>\delta_2</math>  , dann <math>\delta_3</math>).
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# Berechnen Sie den Streckfaktor <math>\ k</math> der Drehstreckung, die durch die Nacheinanderausführung <math>\delta_3 \circ \delta_2 \circ \delta_1</math> entsteht (erst <math>\ \delta_1</math>, dann <math>\ \delta_2</math>  , dann <math>\ \delta_3</math>).
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# Beweisen Sie: <math> \alpha_1 = 45^\circ , \alpha_3 = 30^\circ , \tan \left( \alpha_2 \right)= \frac{1}{2} \sqrt{2}</math>.
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# Wir betrachten die Drehstreckung <math> \phi = DS_{Z, \beta, k} = \delta_3 \circ \delta_1</math> (erst <math>\ \delta_1</math> dann <math>\ \delta_3</math>). Das Bild <math>\ A^'</math> eines beliebigen Punktes <math>\ A</math> bei <math>\ \phi</math> soll nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Geben Sie eine entsprechende Konstruktionsvorschrift an. Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Konstruktionsvorschrift. Beachten Sie, dass bei Zirkel und Lineal-Konstruktionen das Lineal keine verfügbare Skala zum Messen hat.
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# Die Idee der Konstruktion der Punkte <math>\ P^'</math>, <math>\ P^{''}</math>, <math>\ P^{'''}</math> wurde der ''Spirale des Theodorus'' [http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelschnecke] nachempfunden. Wir stellen uns vor, das Verfahren zur Konstruktion weiterer Punkte <math>\ P^{''''}</math>, <math>\ P^{'''''}</math>,… wird analog fortgesetzt (Theodorus wurde nach 17maliger Ausführung der Konstruktion unterbrochen). Welche Länge hätte die Strecke <math>\overline{ZP^{''''''''''''}}</math> (<math>\ P</math> zwölffach gestrichen)? Geben Sie die Konstruktionsvorschrift einer einfacheren Konstruktion für eine Strecke mit einer derartigen Länge an und begründen Sie diese Vorschrift.
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Aktuelle Version vom 25. Juli 2010, 07:49 Uhr

Entsprechend Abbildung 1 wird der Punkt \ P der Reihe nach durch die Drehstreckungen

\delta_1 = DS_{Z, \alpha_1, k_1},

\delta_2 = DS_{Z, \alpha_2, k_2},

\delta_3 = DS_{Z, \alpha_3, k_3},

auf die Punkte \ P^', \ P^{''} und schließlich auf \ P^{'''} abgebildet.

Wurzelschnecke.png


Abbildung 1

Es möge \overline{ZP} \cong \overline{PP^'} \cong \overline{P^'P^{''}} \cong \overline{P^{''}P^{'''}} gelten.

  1. Berechnen Sie die Streckfaktoren \ k_1, k_2, k_3. Begründen Sie Ihre Überlegungen.
  2. Berechnen Sie den Streckfaktor \ k der Drehstreckung, die durch die Nacheinanderausführung \delta_3 \circ \delta_2 \circ \delta_1 entsteht (erst \ \delta_1, dann \ \delta_2 , dann \ \delta_3).
  3. Beweisen Sie: \alpha_1 = 45^\circ , \alpha_3 = 30^\circ , \tan \left( \alpha_2 \right)= \frac{1}{2} \sqrt{2}.
  4. Wir betrachten die Drehstreckung \phi = DS_{Z, \beta, k} = \delta_3 \circ \delta_1 (erst \ \delta_1 dann \ \delta_3). Das Bild \ A^' eines beliebigen Punktes \ A bei \ \phi soll nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Geben Sie eine entsprechende Konstruktionsvorschrift an. Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Konstruktionsvorschrift. Beachten Sie, dass bei Zirkel und Lineal-Konstruktionen das Lineal keine verfügbare Skala zum Messen hat.
  5. Die Idee der Konstruktion der Punkte \ P^', \ P^{''}, \ P^{'''} wurde der Spirale des Theodorus [1] nachempfunden. Wir stellen uns vor, das Verfahren zur Konstruktion weiterer Punkte \ P^{''''}, \ P^{'''''},… wird analog fortgesetzt (Theodorus wurde nach 17maliger Ausführung der Konstruktion unterbrochen). Welche Länge hätte die Strecke \overline{ZP^{''''''''''''}} (\ P zwölffach gestrichen)? Geben Sie die Konstruktionsvorschrift einer einfacheren Konstruktion für eine Strecke mit einer derartigen Länge an und begründen Sie diese Vorschrift.


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