Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks: Unterschied zwischen den Versionen

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<br />Ist das denn wichtig? Ich denke es ist nur eine Skizze, die die Bezeichnungen klärt, nicht aber Größenverhältnisse abbilden muss. Diese wiederum klärt die Voraussetzung und die Behauptung. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 19:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
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Auf <math>\overline{BC}</math> gibt es jetzt genau einen Punkt <math>\ B'</math> mit <math>\left| CB' \right| > \left| b\right|</math>.
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Auf <math>\overline{BC}</math> gibt es jetzt genau einen Punkt <math>\ B'</math> mit <math>\left| CB' \right| = \left| b\right|</math>.
  
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Denke ich falsch, oder soll es heißen  <math>\left| CB' \right| = \left| b\right|</math>??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:25, 17. Jul. 2010 (UTC)
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Denke ich falsch, oder soll es heißen  <math>\left| CB' \right| = \left| b\right|</math>??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:25, 17. Jul. 2010 (UTC)<br />
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Ich würde auch sagen, dass da ein "=" hinmuss.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:43, 17. Jul. 2010 (UTC)
  
 
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===== Satz IX.3 =====
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===== Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) =====
 
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <br /><math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>
 
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <br /><math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>
 
===== Beweis von Satz IX.3 =====
 
===== Beweis von Satz IX.3 =====
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Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.
 
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.
  
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<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>
  
 
<math>\left| a \right| \le \left| b \right|</math>
 
<math>\left| a \right| \le \left| b \right|</math>
  
 
Es ergeben sich sofort zwei Widersprüche. Welche?
 
Es ergeben sich sofort zwei Widersprüche. Welche?
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1.) Wenn a = b, dann ist <math>\left| \alpha \right| = \left| \beta \right|</math>
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2.) Wenn a < b, dann ist <math>\left| \alpha \right| < \left| \beta \right|</math>
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--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:44, 17. Jul. 2010 (UTC)
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korrekt
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Sie müssen allerdings noch begründen, warum sich diese Widersprüche ergeben. Für die Führung eines indirekten Beweises isr es ferner wichtig, aufzuzeigen, wozu sich der Widerspruch ergibt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:38, 19. Jul. 2010 (UTC)
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<u>Begründung:</u>
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<br />Voraussetzung: <math>\ |\alpha| > |\beta|</math>
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<br />Annahme:<math>|a| \le \ |b|</math>
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<br />Aus "<math>\ \le </math>" lassen sich zwei Fälle ableiten:
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#) <math>|a| = \ |b|</math>, dann gilt allerdings <math>\left| \alpha \right| = \left| \beta \right|</math>, da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, bei dem bekanntlich die Basiswinkel kongruent sind --> Widerspruch zur VSS!
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#) <math>|a| < \ |b|</math>, das ist allerdings der Fall, wenn <math>\ |\alpha| < |\beta|</math>, siehe Beweis "Satz IX.2" --> Widerspruch zu VSS! (Oder muss an dieser Stelle der Beweis der Umkehrung geführt werden?)
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--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 18:25, 20. Jul. 2010 (UTC)

Aktuelle Version vom 26. Juli 2010, 10:41 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber)
Es sei \overline{ABC} ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|
Beweis von Satz IX.2

Es sei \overline{ABC} ein Dreieck.

Voraussetzung:
\left| BC \right| > \left| AC \right| bzw. \left| a\right| > \left| b \right|

Seite winkel 00.png

Nach dem Dreieck müsste es doch heißen: |BC| > |AC| \ --Heinzvaneugen 18:12, 20. Jul. 2010 (UTC)
Ist das denn wichtig? Ich denke es ist nur eine Skizze, die die Bezeichnungen klärt, nicht aber Größenverhältnisse abbilden muss. Diese wiederum klärt die Voraussetzung und die Behauptung. --Maude001 19:59, 21. Jul. 2010 (UTC)


Auf \overline{BC} gibt es jetzt genau einen Punkt \ B' mit \left| CB' \right| = \left| b\right|.

Denke ich falsch, oder soll es heißen \left| CB' \right| = \left| b\right|??? --Maude001 11:25, 17. Jul. 2010 (UTC)
Ich würde auch sagen, dass da ein "=" hinmuss.--Löwenzahn 11:43, 17. Jul. 2010 (UTC)

Seite winkel 01.png


Begründung der Konstruktion von \ B' :

... Nach Voraussetzung \left| a\right| > \left| b \right| und dem Axiom vom Lineal. --Maude001 11:29, 17. Jul. 2010 (UTC)

Wie geht es weiter?

Seite winkel 02.png


Nr. Beweisschritt Begründung
(i) b \cong \overline{B'C} nach Konstruktion---mogli- 15:45, 17. Jul. 2010 (UTC)
(ii) \delta_1 \cong \delta_2 nach Basiswinkelsatz---mogli- 15:45, 17. Jul. 2010 (UTC)
(iii) \left| \alpha \right| > \left| \delta_1 \right| da B' \in (der offenen Strecke) \overline{BC}, liegt \ B' im Inneren von \ \alpha , nach "Geschichten aus dem Inneren" --Löwenzahn 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
(iv) \left| \alpha \right| > \left| \delta_2 \right| (ii), (iii) --Löwenzahn 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
(v) \left| \delta_2 \right| > \left| \beta \right| schwacher Außenwinkelsatz --Löwenzahn 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
(vi) \left| \alpha \right| > \left| \beta \right| (iv), (v) --Löwenzahn 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber)
Es sei \overline{ABC} ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right|
Beweis von Satz IX.3

Lösung von Aufgabe 13.1

Es sei \overline{ABC} ein Dreieck.

Voraussetzung:

\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|

Behauptung:

\left| a \right| > \left| b \right|

Annahme: \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|

\left| a \right| \le \left| b \right|

Es ergeben sich sofort zwei Widersprüche. Welche?

1.) Wenn a = b, dann ist \left| \alpha \right| = \left| \beta \right|

2.) Wenn a < b, dann ist \left| \alpha \right| < \left| \beta \right| ---mogli- 15:44, 17. Jul. 2010 (UTC)

korrekt

Sie müssen allerdings noch begründen, warum sich diese Widersprüche ergeben. Für die Führung eines indirekten Beweises isr es ferner wichtig, aufzuzeigen, wozu sich der Widerspruch ergibt. --*m.g.* 06:38, 19. Jul. 2010 (UTC)

Begründung:
Voraussetzung: \ |\alpha| > |\beta|
Annahme:|a| \le \ |b|
Aus "\ \le " lassen sich zwei Fälle ableiten:

  1. ) |a| = \ |b|, dann gilt allerdings \left| \alpha \right| = \left| \beta \right|, da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, bei dem bekanntlich die Basiswinkel kongruent sind --> Widerspruch zur VSS!
  2. ) |a| < \ |b|, das ist allerdings der Fall, wenn \ |\alpha| < |\beta|, siehe Beweis "Satz IX.2" --> Widerspruch zu VSS! (Oder muss an dieser Stelle der Beweis der Umkehrung geführt werden?)

--Heinzvaneugen 18:25, 20. Jul. 2010 (UTC)

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