Lösung von Aufg. 14.4 (WS 11/12: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 2. Februar 2012, 01:40 Uhr

Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z.
a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel $\angle MAB$ , wenn die Gerade g zur Tangente am Kreis k im Punkt A wird?

Der Winkel $\angle MAB$ wird zum rechten Winkel, $MAB \ \perp \ g$ --Phhd mat 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)

Also genau genommen verschwindet der Winkel $\angle MAB$ , da der Punkt A und B identisch ist. Es müsste also heißen: $\angle MAZ \ \perp \ g$

b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ...

...steht der Radius $\overline{MA}$ senkrecht auf g --Phhd mat 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)

c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt.

Voraussetung: g Tangente an k, $A \in g \ \wedge \ A \in k$ , $\overline{MA}$ ist Radius
Behauptung: $\overline{MA} \ \perp \ g$
Annahme: $\overline{MA} \ \not\perp \ g$
(1) Es existiert ein Lot mit der Eigenschaft $\ l \ \perp \ g: {B} \ \wedge \ l \neq \overline{MA}$
(2) Antragen Punkt $C$ auf Strahl $\ BA^{-} \in \left| BC \right| = \left| BA \right|$
(3) $\overline{BMA} \equiv \overline{BMC}$ nach SWS
(4) $\left| MC \right| = \left| MA \right|$ nach 3. und Dreieckskongruenz
(5) $\left| MA \right|$ ist Radius nach Vorausssetzung
(6) $\left| MC \right|$ ist ebenfalls Radius nach 4. und 5.
(7) $C \in g \ \wedge \ C \in k$ nach 6.
Widersprung zur Voraussetung!--Phhd mat 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)

d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? Beweisen Sie dies.

e) Entwickeln Sie ein Tangentenkriterium aus b) und d)

--> Wenn eine Gerade g durch den Berührpunkt A des Kreiss k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist g genau dann Tangente an k, wenn g senkrecht auf MA steht.

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 d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? Beweisen Sie dies.<br /><br />
 e) Entwickeln Sie ein Tangentenkriterium aus b) und d)<br />
+--> Wenn eine Gerade g durch den Berührpunkt A des Kreiss k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist g genau dann Tangente an k, wenn g senkrecht auf MA steht.
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