Lösung von Aufg. 8.5 (SoSe 11): Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Voraussetzung: A, B, C sind paarweie verschieden | + | Voraussetzung: A, B, C sind paarweie verschieden und liegen auf ein und derselben Gerade g<br /> |
| − | Behauptung: Ein Punkt B (o. B. d. A.) liegt zwischen den beiden anderen | + | Behauptung: Ein Punkt B (o. B. d. A.) liegt zwischen den beiden anderen <br /> |
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Beweis durch Widerspruch:<br /> | Beweis durch Widerspruch:<br /> | ||
Fall 1: Kein Punkt liegt zwischen zwei anderen<br /> | Fall 1: Kein Punkt liegt zwischen zwei anderen<br /> | ||
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| − | | 1) || |AB| = |AC| <math>\Rightarrow</math> B = C || Vor., Axiom II.2, Axiom II.1, Annahme | + | | 1) || <math>|AB| = |AC|</math> <math>\Rightarrow</math> <math>B = C</math> || Vor., Axiom II.2, Axiom II.1, Annahme |
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| − | | 2) || |AC| = |BC| <math>\Rightarrow</math> A = B || Vor., Axiom II.2, Axiom II.1, Annahme | + | | 2) || <math>|AC| = |BC|</math> <math>\Rightarrow</math> <math>A = B</math> || Vor., Axiom II.2, Axiom II.1, Annahme |
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| − | | 3) || A = B = C || (1), (2), Transitivität von "=" | + | | 3) || <math>A = B = C</math> || (1), (2), Transitivität von "=" |
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| 4) || Widerspruch zur Voraussetzung A, B, C paarweise verschieden; Annahme ist zu verwerfen || (3) | | 4) || Widerspruch zur Voraussetzung A, B, C paarweise verschieden; Annahme ist zu verwerfen || (3) | ||
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| − | | 1) || |AB| + |BC| = |AC| || Def. ZWrel., Annahme | + | | 1) || <math>|AB| + |BC| = |AC|</math> || Def. ZWrel., Annahme |
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| − | | 2) || |BA| + |AC| = |BC| || Def. ZWrel., Annahme | + | | 2) || <math>|BA| + |AC| = |BC|</math> || Def. ZWrel., Annahme |
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| − | | 3) || |AB| + |BA| + |AC| = |AC| || Rechnen in R, (1), (2) | + | | 3) || <math>|AB| + |BA| + |AC| = |AC|</math> || Rechnen in R, (1), (2) |
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| − | | 4) || |AB| + |BA| = 0 || Rechnen in R, (3) | + | | 4) || <math>|AB| + |BA| = 0</math> || Rechnen in R, (3) |
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| − | | 5) || A = B || Axiom II.1 (d als positive reele Zahl und wenn eine Zahl a mit einer anderen Zahl b addiert wird und Null ergibt, ist a=b=0), Axiom II.2 | + | | 5) || <math>A = B</math> || Axiom II.1 (d als positive reele Zahl und wenn eine Zahl a mit einer anderen Zahl b addiert wird und Null ergibt, ist a=b=0), Axiom II.2 |
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| 6) || Widerspruch zur Voraussetzung, paarweise verschieden || (5) | | 6) || Widerspruch zur Voraussetzung, paarweise verschieden || (5) | ||
Version vom 6. Juni 2011, 17:45 Uhr
Satz:
- Von drei paarweise verschiedenen Punkten
und 
ein und derselben Geraden 
liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
- Von drei paarweise verschiedenen Punkten
Beweisen Sie diesen Satz.
Voraussetzung: A, B, C sind paarweie verschieden und liegen auf ein und derselben Gerade g
Behauptung: Ein Punkt B (o. B. d. A.) liegt zwischen den beiden anderen
Beweis durch Widerspruch:
Fall 1: Kein Punkt liegt zwischen zwei anderen
Annahme: |AB| = |AC| = |BC|
| 1) |    |
Vor., Axiom II.2, Axiom II.1, Annahme |
| 2) |   |
Vor., Axiom II.2, Axiom II.1, Annahme |
| 3) |  |
(1), (2), Transitivität von "=" |
| 4) | Widerspruch zur Voraussetzung A, B, C paarweise verschieden; Annahme ist zu verwerfen | (3) |
Fall 2: Zwei Punkte liegen zwischen zwei anderen
Annahme: Es gilt: Zw(A, B, C) und Zw(B, A, C)
| 1) |  |
Def. ZWrel., Annahme |
| 2) |  |
Def. ZWrel., Annahme |
| 3) |  |
Rechnen in R, (1), (2) |
| 4) |  |
Rechnen in R, (3) |
| 5) | |
Axiom II.1 (d als positive reele Zahl und wenn eine Zahl a mit einer anderen Zahl b addiert wird und Null ergibt, ist a=b=0), Axiom II.2 |
| 6) | Widerspruch zur Voraussetzung, paarweise verschieden | (5) |
--Flo60 23:25, 31. Mai 2011 (CEST)
