Lösung von Aufgabe 10.2: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 2. Juli 2010, 01:15 Uhr

Beweis Versuch 1:

VSS: $g \subset E$ , $P \in g$
Beh: es gibt genau eine Gerade s durch P, die senkrecht auf g steht

EXISTENZ

Beweis
Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	in $g$ gibt es einen Strahl mit ${PB^{+}}$	Axiom I.2 und Def. Halbgerade
(II)	es existiert genau ein Strahl ${PC^{+}}$ in der Halbebene ${gC^{+}}$ mit $\| \angle CPB\| = 90$	Winkelkonstruktionsaxiom, (I)
(III)	es exisitiert genau eine Gerade s durch $C$ und $P$ , senkrecht auf $g$	Axiom I.1, (II)

EINDEUTIGKEIT Da es nach dem Winkelkonstruktionsaxiom genau eine Gerade gibt, die die Eindeutigkeit bereits gezeigt.
qed --Löwenzahn 17:14, 1. Jul. 2010 (UTC)

Zweiter Beweisversuch

Voraussetzung: g Element E, s Element E, P Element g Behauptung: s Element g und s senkrecht auf g

Existenz:

Es gibt eine Gerade s Element, die durch den Punkt P geht und senkrecht auf g steht
	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es existiert ein X Element E mit der Eigenschaft, dass X Element S und X Element PX+	Axiom I.2 (Gerade hat mindestens 2 Punkte)
(II)	Es existieren auf der Geraden g ein Punkt P1 auf PP1+ und ein Punkt P2 auf PP1- \|Winkel(XPP2)\| = \|Winkel(XPP1)\| = \|w\| mit w = 90	Definition V.6 (Rechter Winkel)
(III)	s steht senkrecht auf g	(II), Definition V.8 (Relation senkrecht)

Eindeutigkeit: Nach Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 gibt es in jeder Halbebene genau nur einen Strahl mit|w|=|Winkel(XPP2)| bzw. |w| = |Winkel(XPP1)| Nach Winkelmaßaxiom IV.1 gibt es für w genau eine reelle Zahl zwischen 0 und 180. Nach der Definition V.6, Satz V.3 und Satz V.4 gibt es rechte Winkel mit der Größe 90. Nach Definition V.8 ist eine Gerade dann senkrecht auf der anderen, wenn bei dem Schnitt der beiden rechte Winkel enstehen. Somit kann es nur einen Strahl geben in jeder Halbebene, der Senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht, da beim Schnitt ein rechter Winkel enstehen muss, der mit der Größe 90 nur einmalig existiert.

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Beweis Versuch 1:

Zweiter Beweisversuch

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 Nach der Definition V.6, Satz V.3 und Satz V.4 gibt es rechte Winkel mit der Größe 90.
 Nach Definition V.8 ist eine Gerade dann senkrecht auf der anderen, wenn bei dem Schnitt der beiden rechte Winkel enstehen.
-Somit kann es nur einen Strahl geben in jeder Halbebene, der Senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht.
+Somit kann es nur einen Strahl geben in jeder Halbebene, der Senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht, da beim Schnitt ein rechter Winkel enstehen muss, der mit der Größe 90 nur einmalig existiert.