Lösung von Aufgabe 11.7: Unterschied zwischen den Versionen
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| Die Winkelhalbierende w und die Strecke <math>\overline {AB}</math> schneiden sich in <math>S</math> | | Die Winkelhalbierende w und die Strecke <math>\overline {AB}</math> schneiden sich in <math>S</math> | ||
| ... (Skizze? Reicht das als Begründung?) | | ... (Skizze? Reicht das als Begründung?) | ||
+ | '''''Nein, Satz: Ist SP<sup>+</sup> ein Strahl im Inneren des Winkels <ASB, so schneidet er die Strecke <math>\overline{AB}</math>. vgl. Aufgabe Tutorium 12 '''''--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 13:13, 10. Jul. 2010 (UTC) | ||
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− | | <math> \overline{APS} \cong \overline{BPS}</math> | + | | <math> \overline{APS} \cong \overline{BPS}</math>| SWS: <br /><math> \overline{AP}\cong \overline{BP}</math> (VSS) <br /> <math> \overline{PS}\cong \overline{PS}</math> (trivial) <br /><math> \delta_1 \cong \delta_2</math> (III) |
− | | SWS: <br /><math> \overline{AP}\cong \overline{BP}</math> (VSS) <br /> <math> \overline{PS}\cong \overline{PS}</math> (trivial) <br /><math> \delta_1 \cong \delta_2</math> (III) | + | |
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Version vom 10. Juli 2010, 15:13 Uhr
Beweisen Sie Satz VII.6a:
Wenn ein Punkt zu den Endpunkten der Strecke jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von .
Versuch 1:
VSS: Punkt P, , , Mittelsenkrechte m
Beh:
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | (VSS) | |
(II) | es existiert ein Punkt | Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt (I) |
(III) | Basiswinkelsatz | |
(IV) | (I), (II), (III), (SWS) | |
(V) | (Def Dreieckskongruenz) (IV) | |
(VI) | (Axiom I.1), (II), (V) |
--> , die Behauptung ist wahr.
qed --Löwenzahn 13:52, 4. Jul. 2010 (UTC)
Welches Winkel sind und und welche Bedingungen müssen erfüllt sein, dass der Basiswinkelsatz überhaupt angewandt werden kann? Schritt 3 muss nochmal überprüft werden! Ist ein kongruenter Winkel überhaupt nötig? Warum nicht der Kongruentssatz SSS?
--Tja??? 13:06, 10. Jul. 2010 (UTC)
Versuch 2:
VSS:
- Punkt P, Strecke , es gilt
- Mittelsenkrechte m; für die gilt laut Definition: senkrecht zu und geht durch und es gilt:
Behauptung:
Annahme (indirekter Beweis):
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Das Dreieck ist gleichschenklig | Definition gleichschenkliges Dreieck, da laut VSS |
(II) | Basiswinkelsatz | |
(III) | Es existiert eine Winkelhalbierende w des winkels | Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden): Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende. |
(IV) | Die Winkelhalbierende w und die Strecke schneiden sich in | ... (Skizze? Reicht das als Begründung?)
Nein, Satz: Ist SP+ ein Strahl im Inneren des Winkels <ASB, so schneidet er die Strecke . vgl. Aufgabe Tutorium 12 --Tja??? 13:13, 10. Jul. 2010 (UTC) |
(VI) | SWS: (VSS) (trivial) (III) | |
(VII) | Dreieckskongruenz: (VI) | |
(VIII) | (VII), Existenz und Eindeutigkeit eines Mittelpunktes, da laut (VSS) gilt: | |
(IX) | Dreieckskongruenz: (VI), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel | |
(X) | Widerspruch zu Annahme! | (VIII), (IX), (III), (VSS) |
Einige Schritte sind zum besseren Verständnis in kleinste Einheiten aufgeteilt, deswegen sind es letztlich 10 Beweisschritte. Die Grundidee ist simpel: mit der Winkelhalbierenden erzeugt man zwei kongruente Dreiecke. Analog zur Lösung 1, wo der Knackpunkt der Mittelpunkt der Basis (gleichschenkliges Dreieck) ist, läuft der Beweis ab der Winkelhalbierenden "automatisch" durch.
--Heinzvaneugen 12:19, 10. Jul. 2010 (UTC)